Номер 685, страница 179 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 685, страница 179.

685 Для определения высоты столба A₁C₁, на рисунке 232, с. 177, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если BC₁ = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 м?

Для решения этой задачи используется метод подобных треугольников. Предположим, что столб $A_1C_1$ и шест $AC$ стоят вертикально на ровной поверхности земли. Наблюдение ведется из точки $B$, которая лежит на одной прямой с основаниями шеста ($C$) и столба ($C_1$).

В этом случае образуются два прямоугольных треугольника: $\triangle BCA$ (образован шестом, землей и линией взгляда) и $\triangle BC_1A_1$ (образован столбом, землей и линией взгляда).

Так как шест $AC$ и столб $A_1C_1$ перпендикулярны земле, то углы $\angle BCA$ и $\angle BC_1A_1$ являются прямыми, то есть $\angle BCA = \angle BC_1A_1 = 90^\circ$. Угол при вершине $B$ (угол наблюдения) является общим для обоих треугольников.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого (по прямому углу и общему углу $\angle B$), треугольники $\triangle BCA$ и $\triangle BC_1A_1$ подобны по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны. Мы можем записать следующее соотношение для катетов:
$ \frac{A_1C_1}{AC} = \frac{BC_1}{BC} $

По условию задачи нам известны следующие величины:
Высота шеста $AC = 1,7$ м.
Расстояние от наблюдателя до шеста $BC = 3,4$ м.
Расстояние от наблюдателя до столба $BC_1 = 6,3$ м.

Обозначим искомую высоту столба $A_1C_1$ через $x$ и подставим известные значения в пропорцию:
$ \frac{x}{1,7} = \frac{6,3}{3,4} $

Теперь выразим $x$ из этого уравнения:
$ x = 1,7 \cdot \frac{6,3}{3,4} $

Можно заметить, что $3,4 = 2 \cdot 1,7$. Это позволяет упростить вычисления:
$ x = 1,7 \cdot \frac{6,3}{2 \cdot 1,7} $
Сократив $1,7$ в числителе и знаменателе, получаем:
$ x = \frac{6,3}{2} $
$ x = 3,15 $ м.

Таким образом, высота столба $A_1C_1$ равна 3,15 м.

Ответ: 3,15 м.