Номер 696, страница 180 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач. 73. Применение подобия треугольников в измерительных работах на местности. Глава 8. Подобные треугольники - номер 696, страница 180.

696 Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов, равному отношению двух данных отрезков.

Пусть дан отрезок $c$, который будет гипотенузой искомого треугольника, и два отрезка $m$ и $n$, задающие отношение катетов. Требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, гипотенузой $AB = c$ и катетами $AC$, $BC$ такими, что $AC : BC = m : n$.

Анализ

Метод решения данной задачи основан на подобии треугольников. Все прямоугольные треугольники, у которых отношение катетов является постоянной величиной ($m:n$), подобны друг другу. Это следует из признака подобия по двум сторонам и углу между ними (угол $90^\circ$ и катеты, отношение которых задано).

Следовательно, мы можем сначала построить любой удобный для нас прямоугольный треугольник, удовлетворяющий заданному отношению катетов, а затем построить треугольник, подобный ему, но с заданной гипотенузой.

Самый простой способ построить вспомогательный треугольник — это взять катеты, равные данным отрезкам $m$ и $n$. Назовем этот треугольник $A_1B_1C_1$, где $\angle C_1 = 90^\circ$, $A_1C_1 = m$ и $B_1C_1 = n$.

Искомый треугольник $ABC$ должен быть подобен $\triangle A_1B_1C_1$. Из подобия следует равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Таким образом, мы можем построить искомый треугольник по стороне (гипотенузе $c$) и двум прилежащим к ней углам, которые мы определим из вспомогательного треугольника.

Построение

Построение выполняется в два этапа:

1. Построение вспомогательного треугольника $A_1B_1C_1$.
   • Провести две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $C_1$.
   • На одной прямой отложить от точки $C_1$ отрезок $C_1A_1$, равный данному отрезку $m$.
   • На другой прямой отложить от точки $C_1$ отрезок $C_1B_1$, равный данному отрезку $n$.
   • Соединить точки $A_1$ и $B_1$ отрезком. Треугольник $A_1B_1C_1$ построен.
2. Построение искомого треугольника $ABC$.
   • На произвольной прямой отложить отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
   • С помощью циркуля и линейки построить угол с вершиной в точке $A$, равный углу $C_1A_1B_1$, так, чтобы одна его сторона лежала на луче $AB$.
   • Аналогично построить угол с вершиной в точке $B$, равный углу $C_1B_1A_1$, так, чтобы одна его сторона лежала на луче $BA$, и оба построенных угла находились в одной полуплоскости относительно прямой $AB$.
   • Продолжить вторые стороны построенных углов до их пересечения в точке $C$.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Прямоугольный треугольник. По построению, углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ равны острым углам прямоугольного треугольника $A_1B_1C_1$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, значит $\angle A + \angle B = \angle A_1 + \angle B_1 = 90^\circ$. Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то для угла $C$ имеем: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle ABC$ — прямоугольный.
2. Заданная гипотенуза. Сторона $AB$, противолежащая прямому углу $C$, является гипотенузой. По построению ее длина равна $c$.
3. Заданное отношение катетов. Поскольку $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеют по два равных угла ($\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1$), они подобны по первому признаку подобия. Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $$ Из этой пропорции следует, что $$ \frac{AC}{BC} = \frac{A_1C_1}{B_1C_1} $$ По построению вспомогательного треугольника $A_1C_1 = m$ и $B_1C_1 = n$. Таким образом, $$ \frac{AC}{BC} = \frac{m}{n} $$ что и требовалось доказать.

Исследование

Данная задача имеет решение тогда и только тогда, когда заданные отрезки $c$, $m$ и $n$ имеют ненулевую длину. Все шаги построения выполнимы с помощью циркуля и линейки. Сумма углов $\angle A + \angle B = 90^\circ < 180^\circ$, поэтому лучи, выходящие из точек $A$ и $B$, всегда пересекаются, причем в единственной точке. Таким образом, задача всегда имеет единственное решение (с точностью до симметричного отражения относительно гипотенузы).

Ответ: Алгоритм построения искомого треугольника и его обоснование представлены выше.