Номер 697, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 697, страница 184.

697 Найдите синус, косинус и тангенс углов A и B треугольника ABC с прямым углом С, если: а) ВС = 8, AB = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, AB = 25.

Для решения задачи воспользуемся определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) и теоремой Пифагора. В треугольнике ABC катеты — это AC и BC, а гипотенуза — AB.

Определения тригонометрических функций для острых углов A и B:

$ \sin A = \frac{BC}{AB} $ (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

$ \cos A = \frac{AC}{AB} $ (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

$ \tan A = \frac{BC}{AC} $ (отношение противолежащего катета к прилежащему)

$ \sin B = \frac{AC}{AB} $

$ \cos B = \frac{BC}{AB} $

$ \tan B = \frac{AC}{BC} $

Теорема Пифагора: $ AC^2 + BC^2 = AB^2 $.

а) Дано: $BC=8$, $AB=17$.

Найдем катет AC по теореме Пифагора:

$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $

$ AC^2 + 8^2 = 17^2 $

$ AC^2 + 64 = 289 $

$ AC^2 = 289 - 64 = 225 $

$ AC = \sqrt{225} = 15 $.

Теперь находим тригонометрические функции углов A и B:

$ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} $

$ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} $

$ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15} $

$ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17} $

$ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17} $

$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8} $

Ответ: $ \sin A = \frac{8}{17} $, $ \cos A = \frac{15}{17} $, $ \tan A = \frac{8}{15} $; $ \sin B = \frac{15}{17} $, $ \cos B = \frac{8}{17} $, $ \tan B = \frac{15}{8} $.

б) Дано: $BC=21$, $AC=20$.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $

$ AB^2 = 20^2 + 21^2 $

$ AB^2 = 400 + 441 = 841 $

$ AB = \sqrt{841} = 29 $.

Теперь находим тригонометрические функции углов A и B:

$ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} $

$ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} $

$ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{21}{20} $

$ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29} $

$ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29} $

$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{20}{21} $

Ответ: $ \sin A = \frac{21}{29} $, $ \cos A = \frac{20}{29} $, $ \tan A = \frac{21}{20} $; $ \sin B = \frac{20}{29} $, $ \cos B = \frac{21}{29} $, $ \tan B = \frac{20}{21} $.

в) Дано: $BC=1$, $AC=2$.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:

$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $

$ AB^2 = 2^2 + 1^2 $

$ AB^2 = 4 + 1 = 5 $

$ AB = \sqrt{5} $.

Теперь находим тригонометрические функции углов A и B:

$ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $

$ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $

$ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2} $

$ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $

$ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} $

$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{1} = 2 $

Ответ: $ \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \cos A = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \tan A = \frac{1}{2} $; $ \sin B = \frac{2\sqrt{5}}{5} $, $ \cos B = \frac{\sqrt{5}}{5} $, $ \tan B = 2 $.

г) Дано: $AC=24$, $AB=25$.

Найдем катет BC по теореме Пифагора:

$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $

$ 24^2 + BC^2 = 25^2 $

$ 576 + BC^2 = 625 $

$ BC^2 = 625 - 576 = 49 $

$ BC = \sqrt{49} = 7 $.

Теперь находим тригонометрические функции углов A и B:

$ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} $

$ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} $

$ \tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{7}{24} $

$ \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{25} $

$ \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{7}{25} $

$ \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{24}{7} $

Ответ: $ \sin A = \frac{7}{25} $, $ \cos A = \frac{24}{25} $, $ \tan A = \frac{7}{24} $; $ \sin B = \frac{24}{25} $, $ \cos B = \frac{7}{25} $, $ \tan B = \frac{24}{7} $.