Номер 703, страница 184 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 703, страница 184.

703 Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15.

Выразите через a и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катеты которого равны $a$ и $b$. Обозначим гипотенузу буквой $c$. Согласно теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Следовательно, формула для гипотенузы:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

Острые углы треугольника обозначим как $\alpha$ и $\beta$. Пусть угол $\alpha$ лежит напротив катета $a$, а угол $\beta$ — напротив катета $b$. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета.

Для угла $\alpha$:

$$\tan \alpha = \frac{a}{b}$$

Для угла $\beta$:

$$\tan \beta = \frac{b}{a}$$

Ответ: Гипотенуза $c = \sqrt{a^2 + b^2}$; тангенсы острых углов равны $\frac{a}{b}$ и $\frac{b}{a}$.

Найдите их значения при a = 12, b = 15

Подставим числовые значения $a = 12$ и $b = 15$ в формулы, полученные в предыдущем пункте.

1. Находим гипотенузу:

$$c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369}$$

Упрощаем корень, вынося множитель из-под знака корня: $369 = 9 \cdot 41$.

$$c = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41}$$

2. Находим тангенсы острых углов.

Тангенс угла, противолежащего катету $a=12$:

$$\tan \alpha = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Тангенс угла, противолежащего катету $b=15$:

$$\tan \beta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$$

Ответ: При $a=12$ и $b=15$ гипотенуза равна $3\sqrt{41}$, а тангенсы острых углов равны $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{4}$.