Номер 709, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

75. Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 709, страница 185.

709 В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50′. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне AB.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. По условию задачи, сторона $AD = 12$ см, а угол $\angle BAD = 47°50'$. Также известно, что диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$, что означает, что угол $\angle ABD$ является прямым, т.е. $\angle ABD = 90°$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $\angle ABD = 90°$, этот треугольник является прямоугольным. В этом треугольнике $AD$ — гипотенуза, а $AB$ и $BD$ — катеты.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле $S = a \cdot h$, где $a$ — основание, а $h$ — высота, проведенная к этому основанию. Если мы выберем сторону $AB$ в качестве основания, то высота к ней будет равна длине диагонали $BD$, так как $BD \perp AB$. Следовательно, площадь параллелограмма $ABCD$ можно найти по формуле:

$S_{ABCD} = AB \cdot BD$

Чтобы найти площадь, нам необходимо вычислить длины катетов $AB$ и $BD$. Мы можем сделать это, используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике $ABD$.

Катет $AB$, прилежащий к углу $\angle BAD$, равен произведению гипотенузы $AD$ на косинус этого угла:$AB = AD \cdot \cos(\angle BAD) = 12 \cdot \cos(47°50')$ см.

Катет $BD$, противолежащий углу $\angle BAD$, равен произведению гипотенузы $AD$ на синус этого угла:$BD = AD \cdot \sin(\angle BAD) = 12 \cdot \sin(47°50')$ см.

Теперь подставим найденные выражения для $AB$ и $BD$ в формулу площади параллелограмма:$S_{ABCD} = (12 \cdot \cos(47°50')) \cdot (12 \cdot \sin(47°50'))$$S_{ABCD} = 144 \cdot \sin(47°50') \cdot \cos(47°50')$ см$^2$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Из нее следует, что $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

Применим эту формулу к нашему выражению для площади:$S_{ABCD} = 144 \cdot \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 47°50') = 72 \cdot \sin(2 \cdot 47°50')$.

Вычислим значение двойного угла:$2 \cdot 47°50' = 94°100'$.Поскольку в одном градусе 60 минут ($1° = 60'$), то $100' = 1°40'$.$94°100' = 94° + 1°40' = 95°40'$.

Таким образом, точное значение площади параллелограмма равно:$S_{ABCD} = 72 \cdot \sin(95°40')$ см$^2$.

Для получения численного ответа вычислим значение синуса (с помощью калькулятора):$\sin(95°40') \approx 0.99513$$S_{ABCD} \approx 72 \cdot 0.99513 \approx 71.64936$ см$^2$.

Округлив до сотых, получаем:$S_{ABCD} \approx 71.65$ см$^2$.

Ответ: $S_{ABCD} = 72 \sin(95°40')$ см$^2 \approx 71.65$ см$^2$.