Номер 6, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Вопросы для повторения к главе 8 - номер 6, страница 185.

Условие.

6 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Теорема (второй признак подобия треугольников)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано:

Даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых выполняются условия:
1. $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$
2. $\angle A = \angle A_1$

Доказать:

$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Чтобы доказать подобие треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, достаточно, согласно первому признаку подобия, показать, что у них равны два угла. Один угол уже дан по условию ($\angle A = \angle A_1$), поэтому докажем, что $\angle B = \angle B_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AB_2C_2$, который является копией треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, построенного следующим образом: на луче $AB$ отложим отрезок $AB_2$, равный $A_1B_1$, а на луче $AC$ отложим отрезок $AC_2$, равный $A_1C_1$, и соединим точки $B_2$ и $C_2$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то треугольник $AB_2C_2$ будет равен треугольнику $A_1B_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$. Из этого следует, что $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$.

Теперь воспользуемся условием пропорциональности сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Заменим в этой пропорции $A_1B_1$ на $AB_2$ и $A_1C_1$ на $AC_2$. Получим:

$\frac{AB}{AB_2} = \frac{AC}{AC_2}$

Это равенство означает, что стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сходственным сторонам $AB_2$ и $AC_2$ треугольника $AB_2C_2$.

Согласно теореме, обратной обобщённой теореме Фалеса, если на одной стороне угла отложить отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой стороне угла отсекутся пропорциональные отрезки. Обратное утверждение также верно: если прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то эти прямые параллельны. В нашем случае прямые $B_2C_2$ и $BC$ отсекают на сторонах угла $A$ пропорциональные отрезки, следовательно, эти прямые параллельны: $B_2C_2 \parallel BC$.

Раз прямые $B_2C_2$ и $BC$ параллельны, то соответственные углы при секущей $AB$ равны: $\angle ABC = \angle AB_2C_2$.

Мы ранее установили, что $\triangle AB_2C_2 \cong \triangle A_1B_1C_1$, а значит, их соответствующие углы равны: $\angle AB_2C_2 = \angle A_1B_1C_1$.

Из двух последних равенств следует, что $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$, то есть $\angle B = \angle B_1$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ имеются два равных угла: $\angle A = \angle A_1$ (по условию) и $\angle B = \angle B_1$ (по доказанному). Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Теорема доказана.

Ответ: Теорема (второй признак подобия треугольников) гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.