Номер 13, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 13, страница 186.

13 Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.

Определение высоты предмета

Существует несколько практических способов определения высоты предмета (например, дерева, здания или столба) на местности, которые основаны на применении геометрических принципов, в частности, на подобии треугольников и тригонометрических функциях.

Способ 1: По длине тени (в солнечный день)

Этот метод использует свойство подобия треугольников, которые образуются предметом и его тенью, а также эталонным предметом и его тенью.

1. Возьмите предмет с известной высотой, например, шест или палку, и установите его строго вертикально. Обозначим его высоту как $h$.
2. Измерьте длину тени, отбрасываемой этим шестом. Обозначим ее как $l$.
3. Затем измерьте длину тени, которую отбрасывает интересующий вас высокий предмет (например, дерево). Обозначим эту длину как $L$.
4. Поскольку солнечные лучи падают на землю под одним и тем же углом, образуются два подобных прямоугольных треугольника. Из их подобия следует пропорция: отношение высоты предмета к длине его тени одинаково для обоих объектов.

$\frac{H}{L} = \frac{h}{l}$

Из этой пропорции можно выразить искомую высоту $H$:

$H = \frac{h \cdot L}{l}$

Способ 2: С помощью измерения угла (тригонометрический метод)

Для этого способа понадобится прибор для измерения углов, например, простейший эклиметр, который можно сделать из транспортира, нитки и грузика.

1. Отойдите от основания измеряемого предмета на такое расстояние, чтобы его вершина была хорошо видна. Измерьте это расстояние ($d$) с помощью рулетки, дальномера или шагами.
2. С этой точки, используя эклиметр, измерьте угол $\alpha$ между горизонтальной линией на уровне ваших глаз и направлением на вершину предмета.
3. Рассматривая прямоугольный треугольник, где один катет — это расстояние $d$, а второй — высота предмета над уровнем ваших глаз, можно использовать тангенс угла $\alpha$.
4. Чтобы найти полную высоту предмета ($H$), необходимо к вычисленной высоте прибавить высоту от земли до уровня ваших глаз ($h_{глаз}$).

Формула для расчета имеет вид:

$H = d \cdot \tan(\alpha) + h_{глаз}$

Ответ: Высоту предмета на местности можно определить, используя метод подобия треугольников (сравнивая тень предмета с тенью от объекта известной высоты) или тригонометрический метод (измерив расстояние до предмета и угол возвышения его вершины, а затем применив тригонометрические функции).

Определение расстояния до недоступной точки

Чтобы определить расстояние до точки, к которой невозможно подойти напрямую (например, до объекта на другом берегу реки или на вершине горы), используется метод триангуляции. Он заключается в построении воображаемого треугольника и вычислении его элементов.

Способ 1: Построение произвольного треугольника (по стороне и двум углам)

Это наиболее общий и широко применимый метод.

1. Пусть $C$ — недоступная точка. На доступной вам территории выберите две точки $A$ и $B$ так, чтобы из них была видна точка $C$.
2. Измерьте расстояние между точками $A$ и $B$. Эта линия $AB$ называется базисом, ее длина обозначается как $b$.
3. Находясь в точке $A$, с помощью угломерного прибора (компаса, теодолита) измерьте угол $\alpha$ между направлениями на точку $B$ и на недоступную точку $C$ (то есть, $\angle CAB$).
4. Переместитесь в точку $B$ и аналогично измерьте угол $\beta$ между направлениями на точку $A$ и на точку $C$ (то есть, $\angle CBA$).
5. Теперь у вас есть треугольник $ABC$, в котором известна сторона $b$ и два прилегающих к ней угла $\alpha$ и $\beta$. Третий угол $\gamma$ при вершине $C$ легко найти: $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.
6. Используя теорему синусов, можно вычислить длины двух других сторон треугольника, которые и являются искомыми расстояниями $AC$ и $BC$.

$\frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\gamma)}$

Например, расстояние от точки $A$ до недоступной точки $C$ вычисляется так:

$AC = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(\gamma)} = \frac{b \cdot \sin(\beta)}{\sin(180^\circ - \alpha - \beta)}$

Способ 2: Построение прямоугольного треугольника

Это частный, но более простой случай предыдущего метода.

1. Найдите на своем берегу точку $A$, расположенную прямо напротив недоступной точки $C$ так, чтобы линия $AC$ была перпендикулярна берегу (или выбранному направлению).
2. От точки $A$ отложите вдоль перпендикулярной линии известное расстояние до точки $B$. Измерьте эту дистанцию $AB = b$.
3. В точке $B$ измерьте угол $\beta$ между линией $BA$ и направлением на точку $C$ ($\angle ABC$).
4. В результате вы получаете прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом в вершине $A$.
5. Искомое расстояние $AC$ можно легко найти через тангенс угла $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{AC}{AB} = \frac{AC}{b}$

Отсюда расстояние до недоступной точки $C$ равно:

$AC = b \cdot \tan(\beta)$

Ответ: Расстояние до недоступной точки определяется путем построения на местности треугольника, где эта точка является одной из вершин. Измерив длину одной из сторон треугольника (базис) на доступной территории и углы, можно вычислить искомое расстояние с помощью тригонометрических соотношений, таких как теорема синусов или определение тангенса в прямоугольном треугольнике.