Номер 710, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 710, страница 186.

710 Треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, AB = 6 см, ВС = 9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника A₁B₁C₁ равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А₁В₁С₁.

По условию, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, то есть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны. Запишем это в виде отношения:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k$, где $k$ — коэффициент подобия.

Известны стороны треугольника $ABC$: $AB=6$ см, $BC=9$ см, $CA=10$ см. Найдем наибольшую из этих сторон. Сравнивая их длины, видим, что $10 > 9 > 6$. Следовательно, наибольшая сторона треугольника $ABC$ — это сторона $CA = 10$ см.

В подобных треугольниках наибольшей стороне одного треугольника соответствует наибольшая сторона другого. По условию, наибольшая сторона треугольника $A_1B_1C_1$ равна $7,5$ см. Значит, эта сторона соответствует стороне $CA$ треугольника $ABC$. Таким образом, $C_1A_1 = 7,5$ см.

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$, разделив длину стороны треугольника $A_1B_1C_1$ на длину соответствующей ей стороны треугольника $ABC$:

$k = \frac{C_1A_1}{CA} = \frac{7,5}{10} = 0,75$

Зная коэффициент подобия, найдем две другие стороны треугольника $A_1B_1C_1$:

1. Сторона $A_1B_1$ соответствует стороне $AB$. Ее длина равна:

$A_1B_1 = AB \cdot k = 6 \cdot 0,75 = 4,5$ см.

2. Сторона $B_1C_1$ соответствует стороне $BC$. Ее длина равна:

$B_1C_1 = BC \cdot k = 9 \cdot 0,75 = 6,75$ см.

Итак, две другие стороны треугольника $A_1B_1C_1$ имеют длины 4,5 см и 6,75 см.

Ответ: 4,5 см и 6,75 см.