Номер 712, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 712, страница 186.

712 Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK : ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.

Решение:

Рассмотрим треугольник $MNP$. По условию, $NK$ является биссектрисой угла $N$. Точка $K$ лежит на стороне $MP$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, для биссектрисы $NK$ в треугольнике $MNP$ справедливо соотношение:

$ \frac{MK}{KP} = \frac{MN}{NP} $

Подставим известные значения длин сторон: $MN = 5$ см и $NP = 3$ см.

$ \frac{MK}{KP} = \frac{5}{3} $

Отсюда можно выразить $KP$ через $MK$: $KP = \frac{3}{5} MK$.

Точка $K$ делит сторону $MP$ на отрезки $MK$ и $KP$, поэтому $MK + KP = MP$. По условию $MP = 7$ см. Составим и решим уравнение:

$ MK + \frac{3}{5} MK = 7 $

$ \frac{5}{5} MK + \frac{3}{5} MK = 7 $

$ \frac{8}{5} MK = 7 $

$ MK = 7 \cdot \frac{5}{8} = \frac{35}{8} $ см.

Теперь рассмотрим треугольник $MNK$. Отрезок $MO$ является частью биссектрисы $MD$ угла $M$ треугольника $MNP$. Следовательно, $MO$ является биссектрисой угла $NMK$ (или угла $M$) в треугольнике $MNK$.

Применим свойство биссектрисы угла к треугольнику $MNK$ и биссектрисе $MO$. Биссектриса $MO$ делит противолежащую сторону $NK$ на отрезки $OK$ и $ON$, пропорциональные прилежащим сторонам $MK$ и $MN$:

$ \frac{OK}{ON} = \frac{MK}{MN} $

Мы уже нашли $MK = \frac{35}{8}$ см, а $MN = 5$ см по условию. Подставим эти значения в пропорцию:

$ \frac{OK}{ON} = \frac{35/8}{5} = \frac{35}{8 \cdot 5} = \frac{7}{8} $

Таким образом, искомое отношение $OK : ON$ равно $7 : 8$.

Ответ: $7:8$.