Номер 719, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 719, страница 187.

719 Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, если: а) ABA₁B₁ = ACA₁C₁ = BMB₁M₁, где BМ и B₁M₁ — медианы треугольников; б) ∠A = ∠A₁, ACA₁C₁ = ВНВ₁Н₁, где ВН и В₁Н₁ — высоты треугольников ABC и A₁B₁C₁.

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию $BM$ и $B_1M_1$ — медианы, проведенные к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AC$, а $M_1$ — серединой $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Из условия задачи дано равенство отношений: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BM}{B_1M_1}$.

Поскольку $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$, то отношение $\frac{AM}{A_1M_1} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}A_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Таким образом, из условия следует, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BM}{B_1M_1} = \frac{AM}{A_1M_1}$.

Это означает, что три стороны треугольника $ABM$ пропорциональны трем сторонам треугольника $A_1B_1M_1$. По третьему признаку подобия (по трем сторонам) $\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$.

Из подобия треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle A = \angle A_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них есть две пропорциональные стороны $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ (по условию) и равный угол между ними $\angle A = \angle A_1$ (как было доказано). Следовательно, по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Доказано, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

б)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, проведенными к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$, и, следовательно, треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ — прямоугольные ($\angle BHA = 90^\circ$, $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$).

Рассмотрим эти прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$. У них есть равные острые углы $\angle A = \angle A_1$ (по условию). Следовательно, по первому признаку подобия (по двум углам), $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$.

Из подобия треугольников $ABH$ и $A_1B_1H_1$ следует пропорциональность их соответствующих сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1}$.

По условию задачи также дано, что $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BH}{B_1H_1}$.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них две стороны пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$) и угол между этими сторонами равен ($\angle A = \angle A_1$). Таким образом, по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Доказано, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.