Номер 723, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 723, страница 187.
№723 (с. 187)
Условие. №723 (с. 187)
скриншот условия

723 Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
Решение 2. №723 (с. 187)

Решение 3. №723 (с. 187)

Решение 4. №723 (с. 187)

Решение 9. №723 (с. 187)

Решение 11. №723 (с. 187)
Пусть дан ромб $ABCD$. Точки $M, N, P, Q$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединив эти точки, мы получаем четырехугольник $MNPQ$. Нам нужно доказать, что $MNPQ$ — это прямоугольник.
1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.
2. Аналогично, в $\triangle ADC$ отрезок $PQ$ является средней линией. Следовательно, $PQ$ также параллелен $AC$ и равен ее половине: $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.
3. Из того, что $MN \parallel AC$ и $PQ \parallel AC$, следует, что $MN \parallel PQ$. Из того, что $MN = \frac{1}{2}AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$, следует, что $MN = PQ$. Поскольку в четырехугольнике $MNPQ$ противолежащие стороны $MN$ и $PQ$ равны и параллельны, $MNPQ$ является параллелограммом по признаку параллелограмма.
4. Теперь рассмотрим $\triangle ABD$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. По теореме о средней линии, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.
5. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
6. Мы установили, что $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$. Так как $AC \perp BD$, то и параллельные им прямые $MN$ и $MQ$ также перпендикулярны. Следовательно, угол между смежными сторонами параллелограмма $MNPQ$ прямой: $\angle NMQ = 90^\circ$.
7. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, четырехугольник $MNPQ$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.
Ответ: Четырехугольник, образованный соединением середин сторон ромба, является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны и равны (каждая пара параллельна одной из диагоналей ромба и равна ее половине). Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то и смежные стороны полученного параллелограмма также перпендикулярны, а параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 723 расположенного на странице 187 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №723 (с. 187), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.