Номер 727, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 727, страница 188.

727 В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Согласно условию задачи, сумма оснований $AD + BC = b$. Подставив это значение в формулу, получаем:

$S = \frac{b}{2} \cdot h$

Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту трапеции $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Таким образом, $h = CH$.

В трапеции основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle CAD = \angle ACB$.

По условию $\angle ACB = \alpha$, поэтому $\angle CAD = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $AC = a$ (по условию);
• угол $\angle CAH = \angle CAD = \alpha$;
• катет $CH$ является высотой трапеции $h$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle CAH) = \frac{CH}{AC}$

Отсюда мы можем выразить высоту $h$:

$h = CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = a \cdot \sin(\alpha)$

Наконец, подставляем найденное выражение для высоты $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{b}{2} \cdot h = \frac{b}{2} \cdot (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)$

Ответ: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)$.