Номер 733, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 733, страница 188.

733 Дан треугольник ABC. Постройте треугольник A₁B₁C₁, подобный треугольнику ABC, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника ABC.

Для решения задачи необходимо сначала определить, как связаны стороны подобных треугольников и их площади. Пусть дан треугольник $ABC$ с площадью $S$ и искомый треугольник $A_1B_1C_1$ с площадью $S_1$.

Из условия известно, что $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ (треугольники подобны) и $S_1 = 2S$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $$ \frac{S_1}{S} = k^2 $$

Подставим в формулу данные из условия задачи: $$ \frac{2S}{S} = k^2 $$ $$ k^2 = 2 $$ $$ k = \sqrt{2} $$

Таким образом, коэффициент подобия равен $\sqrt{2}$. Это означает, что каждая сторона треугольника $A_1B_1C_1$ должна быть в $\sqrt{2}$ раз длиннее соответствующей стороны треугольника $ABC$: $$ A_1B_1 = AB \cdot \sqrt{2} $$ $$ B_1C_1 = BC \cdot \sqrt{2} $$ $$ A_1C_1 = AC \cdot \sqrt{2} $$

Задача сводится к построению нового треугольника $A_1B_1C_1$ по трем сторонам, длины которых нужно предварительно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение

Построение выполняется в два этапа: сначала строятся отрезки, равные сторонам искомого треугольника, а затем из этих отрезков строится сам треугольник.

Этап 1: Построение отрезка, длина которого в $\sqrt{2}$ раз больше данного.

Чтобы построить отрезок длиной $x\sqrt{2}$, имея отрезок длиной $x$, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если построить прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными $x$, то его гипотенуза будет равна $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

1. Возьмем сторону $AB$ данного треугольника.
2. Построим прямой угол с вершиной в некоторой точке $P$.
3. На одной стороне угла отложим от точки $P$ отрезок $PQ$, равный $AB$.
4. На другой стороне угла отложим от точки $P$ отрезок $PR$, также равный $AB$.
5. Соединим точки $Q$ и $R$. Полученный отрезок $QR$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $PQR$. Его длина равна $AB\sqrt{2}$. Это будет сторона $A_1B_1$ искомого треугольника.
6. Аналогичным образом строим отрезки для двух других сторон: $B_1C_1$ длиной $BC\sqrt{2}$ и $A_1C_1$ длиной $AC\sqrt{2}$.

Этап 2: Построение треугольника $A_1B_1C_1$ по трем сторонам.

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A_1$.
2. С помощью циркуля отложим от точки $A_1$ на прямой отрезок, равный построенной на первом этапе стороне $A_1B_1$ (длиной $AB\sqrt{2}$). Получим точку $B_1$.
3. Из центра в точке $A_1$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $A_1C_1$ (длиной $AC\sqrt{2}$).
4. Из центра в точке $B_1$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $B_1C_1$ (длиной $BC\sqrt{2}$).
5. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $C_1$.
6. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. По построению его стороны в $\sqrt{2}$ раз больше соответствующих сторон треугольника $ABC$, следовательно, он подобен исходному треугольнику, а его площадь в $(\sqrt{2})^2 = 2$ раза больше площади треугольника $ABC$.

Ответ: Для построения треугольника $A_1B_1C_1$, подобного $\triangle ABC$ и с площадью в 2 раза большей, необходимо построить треугольник со сторонами, длины которых в $\sqrt{2}$ раз больше длин соответствующих сторон $\triangle ABC$. Для этого для каждой стороны исходного треугольника (например, $AB$) строится прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными этой стороне. Гипотенуза такого треугольника ($AB\sqrt{2}$) будет являться соответствующей стороной нового треугольника ($A_1B_1$). Построив таким образом три новые стороны, строим по ним искомый треугольник $A_1B_1C_1$ с помощью циркуля и линейки (по трем сторонам).