Номер 737, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей - номер 737, страница 197.

Условие.

737 Начертите прямую а и отметьте точку О, не лежащую на этой прямой. Постройте окружность с центром О так, чтобы она: а) не имела с прямой а общих точек; б) пересекалась с прямой а в двух точках; в) касалась прямой а.

Решение 1.

Решение 11.

Для решения задачи необходимо рассмотреть взаимное расположение прямой и окружности. Это расположение зависит от соотношения между радиусом окружности ($R$) и расстоянием от центра окружности (точки $O$) до прямой ($a$). Обозначим это расстояние как $d$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Построим этот перпендикуляр $OH$, где $H$ — точка на прямой $a$. Тогда $d = OH$.

а) не имела с прямой $a$ общих точек

Окружность и прямая не имеют общих точек, если расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус окружности. В этом случае вся окружность лежит по одну сторону от прямой, не достигая её.
Условие: $R < d$.
Построение:
1. Начертим прямую $a$ и отметим точку $O$, не лежащую на ней.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$ и отметим точку их пересечения $H$.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, который заведомо меньше длины отрезка $OH$.
Например, можно выбрать радиус, равный половине длины $OH$. Такая окружность не будет пересекать прямую $a$.
Ответ: Необходимо построить окружность с центром $O$, радиус $R$ которой меньше расстояния от точки $O$ до прямой $a$ ($R < OH$).

б) пересекалась с прямой $a$ в двух точках

Окружность и прямая пересекаются в двух точках, если расстояние от центра окружности до прямой меньше, чем радиус окружности. В этом случае прямая называется секущей.
Условие: $R > d$.
Построение:
1. Начертим прямую $a$ и отметим точку $O$, не лежащую на ней.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$ и отметим точку их пересечения $H$.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, который больше длины отрезка $OH$.
Например, можно выбрать радиус, равный удвоенной длине $OH$. Такая окружность пересечет прямую $a$ в двух точках.
Ответ: Необходимо построить окружность с центром $O$, радиус $R$ которой больше расстояния от точки $O$ до прямой $a$ ($R > OH$).

в) касалась прямой $a$

Окружность и прямая касаются, если они имеют ровно одну общую точку (точку касания). Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой в точности равно радиусу окружности. Прямая в этом случае является касательной к окружности, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой.
Условие: $R = d$.
Построение:
1. Начертим прямую $a$ и отметим точку $O$, не лежащую на ней.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$. Точка пересечения $H$ и будет точкой касания.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, равным длине отрезка $OH$.
Эта окружность будет касаться прямой $a$ в единственной точке $H$.
Ответ: Необходимо построить окружность с центром $O$, радиус $R$ которой равен расстоянию от точки $O$ до прямой $a$ ($R = OH$).