Номер 741, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 741, страница 197.

741 Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ расположена так, что расстояние от нее до центра окружности, которое мы обозначим как $d = OA$, меньше радиуса $R$. Таким образом, по условию задачи, у нас есть неравенство $d < R$. Это означает, что точка $A$ лежит внутри окружности.

Нам необходимо доказать, что любая прямая $l$, которая проходит через точку $A$, является секущей для данной окружности.

Вспомним определение секущей. Прямая является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью две общие точки. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до этой прямой меньше радиуса.

Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через точку $A$. Найдем расстояние от центра окружности $O$ до этой прямой. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к прямой $l$, где точка $H$ лежит на прямой $l$. Длина этого перпендикуляра $OH$ и есть искомое расстояние, обозначим его $h$, то есть $h = OH$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Поскольку $OH$ является перпендикуляром к прямой $l$, угол $\angle OHA$ — прямой, и, следовательно, треугольник $\triangle OAH$ — прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $OA$ является гипотенузой, а отрезок $OH$ — катетом.

Известно, что в прямоугольном треугольнике длина любого катета всегда меньше или равна длине гипотенузы. Таким образом, для нашего треугольника справедливо неравенство $OH \le OA$.

Используя введенные нами обозначения, это неравенство можно записать как $h \le d$.

Из условия задачи мы знаем, что $d < R$.

Объединив два полученных неравенства, получаем цепочку: $h \le d < R$. Из этой цепочки следует, что $h < R$.

Итак, мы доказали, что расстояние $h$ от центра окружности $O$ до произвольной прямой $l$, проходящей через точку $A$, строго меньше радиуса $R$. Это означает, что прямая $l$ пересекает окружность в двух различных точках, то есть является секущей. Так как прямая $l$ была выбрана произвольно, это утверждение справедливо для любой прямой, проходящей через точку $A$.

Ответ: Так как расстояние от центра окружности до любой прямой, проходящей через точку А, меньше радиуса ($h < R$), то любая такая прямая пересекает окружность в двух точках и, следовательно, является секущей по отношению к данной окружности. Что и требовалось доказать.