Номер 747, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 747, страница 197.

747 Из концов диаметра AB данной окружности проведены перпендикуляры АА₁ и BB₁ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру AB. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A₁B₁.

Пусть дана окружность с центром в точке O. AB — её диаметр, следовательно, точка O является серединой отрезка AB, то есть $AO = OB$.

Пусть l — касательная к окружности в точке C. По условию, из точек A и B опущены перпендикуляры AA₁ и BB₁ на прямую l. Это означает, что $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$.

Поскольку прямые AA₁ и BB₁ перпендикулярны одной и той же прямой l, они параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$.

Рассмотрим четырехугольник AA₁B₁B. Две его стороны (AA₁ и BB₁) параллельны, а две другие (AB и A₁B₁) в общем случае не параллельны (так как по условию касательная l не перпендикулярна диаметру AB). Следовательно, четырехугольник AA₁B₁B является трапецией с основаниями AA₁ и BB₁ и боковыми сторонами AB и A₁B₁.

Проведем радиус OC к точке касания C. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OC \perp l$.

Мы имеем три отрезка AA₁, OC и BB₁, которые все перпендикулярны прямой l. Следовательно, они параллельны между собой: $AA_1 \parallel OC \parallel BB_1$.

В трапеции AA₁B₁B точка O является серединой боковой стороны AB. Через точку O проведена прямая, содержащая отрезок OC, которая параллельна основаниям трапеции AA₁ и BB₁.

Согласно свойству трапеции (которое является следствием теоремы Фалеса), если через середину одной боковой стороны трапеции провести прямую, параллельную основаниям, то она пересечет вторую боковую сторону в её середине.

Прямая, содержащая отрезок OC, пересекает боковую сторону A₁B₁ в точке C. Следовательно, точка C является серединой отрезка A₁B₁. Это означает, что $A_1C = CB_1$.

Таким образом, доказано, что точка касания является серединой отрезка A₁B₁.

Ответ: Утверждение доказано.