Номер 749, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 749, страница 198.

749 Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, ОА = 4 см; в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?

По условию задачи, отрезок $AH$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую, проходящую через центр окружности $O$. Пусть точка $H$ лежит на этой прямой. Следовательно, треугольник $AHO$ является прямоугольным, где $\angle AHO = 90^\circ$.

Прямая является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно ее радиусу. В нашем случае, речь идет о прямой $AH$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AH$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AH$. В прямоугольном треугольнике $AHO$ таким перпендикуляром является катет $OH$.

Таким образом, чтобы прямая $AH$ была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $OH = R$. По условию, радиус окружности $R = 3$ см. Найдем длину катета $OH$ для каждого случая и сравним ее с радиусом.

а)

Дано: $OA = 5$ см, $AH = 4$ см. В прямоугольном треугольнике $AHO$ гипотенуза $OA = 5$ см, катет $AH = 4$ см. По теореме Пифагора $OA^2 = AH^2 + OH^2$. Выразим $OH$: $OH^2 = OA^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ см$^2$. $OH = \sqrt{9} = 3$ см. Поскольку $OH = R = 3$ см, прямая $AH$ является касательной к окружности.
Ответ: является.

б)

Дано: $\angle HAO = 45^\circ$, $OA = 4$ см. В прямоугольном треугольнике $AHO$ катет $OH$ находится напротив угла $\angle HAO$. Используем определение синуса: $\sin(\angle HAO) = \frac{OH}{OA}$. $OH = OA \cdot \sin(\angle HAO) = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Теперь сравним $OH$ и $R$. $OH = 2\sqrt{2}$ см, $R = 3$ см. Сравним их квадраты: $OH^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$, а $R^2 = 3^2 = 9$. Так как $8 < 9$, то $OH < R$. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса, значит, прямая $AH$ является секущей.
Ответ: не является.

в)

Дано: $\angle HAO = 30^\circ$, $OA = 6$ см. В прямоугольном треугольнике $AHO$ катет $OH$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Известно, что катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $OH = \frac{1}{2} OA = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. Поскольку $OH = R = 3$ см, прямая $AH$ является касательной к окружности.
Ответ: является.