Номер 755, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 755, страница 198.

755 Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами О₁ и О₂ и радиусами R и r, если: а) О₁О₂ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см; б) О₁О₂ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см; в) О₁О₂ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см; г) О₁О₂ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см; д) О₁О₂ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см?

Чтобы определить количество общих касательных у двух окружностей, необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d = O_1O_2$) с суммой ($R+r$) и модулем разности ($|R-r|$) их радиусов. В зависимости от соотношения этих величин возможны следующие случаи взаимного расположения окружностей:

• Если $d > R+r$, окружности расположены одна вне другой и не пересекаются. Они имеют 4 общие касательные.
• Если $d = R+r$, окружности касаются внешним образом. Они имеют 3 общие касательные.
• Если $|R-r| < d < R+r$, окружности пересекаются в двух точках. Они имеют 2 общие касательные.
• Если $d = |R-r|$, окружности касаются внутренним образом. Они имеют 1 общую касательную.
• Если $d < |R-r|$, одна окружность находится внутри другой и не касается её. Общих касательных нет (0).

а)

Дано: расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 12$ см, радиусы $R = 8$ см и $r = 6$ см.
Найдём сумму и модуль разности радиусов:
$R + r = 8 + 6 = 14$ см.
$|R - r| = |8 - 6| = 2$ см.
Сравниваем расстояние между центрами $d = 12$ см с полученными значениями: $2 < 12 < 14$.
Так как выполняется условие $|R - r| < d < R + r$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2.

б)

Дано: $d = O_1O_2 = 12$ см, $R = 8$ см, $r = 4$ см.
Найдём сумму радиусов:
$R + r = 8 + 4 = 12$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = R + r$, так как $12 = 12$.
Это означает, что окружности касаются внешним образом.
Ответ: 3.

в)

Дано: $d = O_1O_2 = 12$ см, $R = 6$ см, $r = 4$ см.
Найдём сумму радиусов:
$R + r = 6 + 4 = 10$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $d > R + r$, так как $12 > 10$.
Это означает, что окружности расположены одна вне другой и не пересекаются.
Ответ: 4.

г)

Дано: $d = O_1O_2 = 2$ см, $R = 8$ см, $r = 6$ см.
Найдём модуль разности радиусов:
$|R - r| = |8 - 6| = 2$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с модулем разности радиусов: $d = |R - r|$, так как $2 = 2$.
Это означает, что окружности касаются внутренним образом.
Ответ: 1.

д)

Дано: $d = O_1O_2 = 3$ см, $R = 5$ см, $r = 4$ см.
Найдём сумму и модуль разности радиусов:
$R + r = 5 + 4 = 9$ см.
$|R - r| = |5 - 4| = 1$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с этими значениями: $1 < 3 < 9$.
Так как выполняется условие $|R - r| < d < R + r$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2.