Номер 756, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 756, страница 198.

756 Три равные окружности радиуса r касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого являются: а) центры данных окружностей; б) точки касания данных окружностей.

а) центры данных окружностей

Пусть центры трех равных окружностей радиуса $r$ — это точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$. Эти точки являются вершинами искомого треугольника.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. В данном случае все радиусы равны $r$.

Длина стороны треугольника, соединяющей центры $O_1$ и $O_2$, равна $O_1O_2 = r + r = 2r$.Аналогично, длины двух других сторон также равны $2r$: $O_2O_3 = 2r$ и $O_3O_1 = 2r$.

Так как все три стороны треугольника $O_1O_2O_3$ равны, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно, каждый угол равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Ответ: стороны треугольника равны $2r, 2r, 2r$; углы треугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

б) точки касания данных окружностей

Пусть $K_1$ — точка касания окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$, $K_2$ — точка касания окружностей с центрами $O_1$ и $O_3$, и $K_3$ — точка касания окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$. Вершинами искомого треугольника являются точки $K_1, K_2, K_3$.

Известно, что точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Так как окружности имеют одинаковый радиус $r$, точка касания является серединой отрезка, соединяющего центры.

Следовательно, точки $K_1, K_2, K_3$ являются серединами сторон треугольника $O_1O_2O_3$, рассмотренного в пункте а).

Таким образом, треугольник $K_1K_2K_3$ является срединным треугольником для $\triangle O_1O_2O_3$. По свойству средней линии, каждая сторона срединного треугольника равна половине стороны исходного треугольника, которой она параллельна.

Так как стороны треугольника $O_1O_2O_3$ равны $2r$, то стороны треугольника $K_1K_2K_3$ равны $\frac{1}{2} \cdot 2r = r$.

Поскольку все стороны треугольника $K_1K_2K_3$ равны $r$, он также является равносторонним. Его углы, соответственно, равны $60^\circ$.

Ответ: стороны треугольника равны $r, r, r$; углы треугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.