Номер 763, страница 204 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 763, страница 204.

763 Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду AB, если: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 180°.

Во всех случаях мы рассматриваем треугольник $AOB$, где $O$ — центр окружности, а $A$ и $B$ — точки на окружности. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R = 16$. Хорда $AB$ является третьей стороной этого треугольника.

а) Если $\angle AOB = 60°$.
В треугольнике $AOB$ стороны $OA$ и $OB$ равны 16. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный. Углы при основании в равнобедренном треугольнике равны: $\angle OAB = \angle OBA$.
Сумма углов треугольника равна $180°$.
$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$
Поскольку $\angle OAB = \angle OBA$ и $\angle AOB = 60°$, получаем:
$2 \cdot \angle OAB + 60° = 180°$
$2 \cdot \angle OAB = 120°$
$\angle OAB = 60°$
Так как все углы треугольника $AOB$ равны $60°$ ($\angle AOB = \angle OAB = \angle OBA = 60°$), он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны.
Следовательно, $AB = OA = OB = 16$.
Ответ: 16.

б) Если $\angle AOB = 90°$.
В этом случае треугольник $AOB$ является прямоугольным, так как угол при вершине $O$ прямой. Стороны $OA$ и $OB$ — это катеты, а хорда $AB$ — гипотенуза.
Применим теорему Пифагора: $AB^2 = OA^2 + OB^2$.
Подставляем известные значения:
$AB^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512$
$AB = \sqrt{512}$
Для упрощения корня представим 512 как произведение: $512 = 256 \cdot 2$.
$AB = \sqrt{256 \cdot 2} = \sqrt{256} \cdot \sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.
Ответ: $16\sqrt{2}$.

в) Если $\angle AOB = 180°$.
Развернутый угол $\angle AOB = 180°$ означает, что точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой.
Хорда, которая проходит через центр окружности, является её диаметром.
Длина диаметра равна удвоенному радиусу: $D = 2R$.
$AB = 2 \cdot 16 = 32$.
Ответ: 32.