Номер 769, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 769, страница 205.

769 Хорда AB стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС — дугу в 43°. Найдите угол ВАС.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством вписанного угла: величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $ \angle BAC $ является вписанным и опирается на дугу $BC$. Следовательно, $ \angle BAC = \frac{1}{2} \smile BC $.

Условие задачи не уточняет взаимное расположение точек B и C на окружности относительно точки A, поэтому существует два возможных случая.

Случай 1: Точки B и C расположены по одну сторону от диаметра, проходящего через точку A.

В этом случае одна из дуг, стягиваемых хордами, лежит внутри другой. Предположим, что точка C находится на дуге AB. Тогда дуга BC, на которую опирается искомый угол $ \angle BAC $, будет равна разности градусных мер дуг AB и AC.

Найдем градусную меру дуги BC:

$ \smile BC = \smile AB - \smile AC = 115^\circ - 43^\circ = 72^\circ $

Теперь найдем величину угла $ \angle BAC $:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} \smile BC = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ $

Ответ: $36^\circ$.

Случай 2: Точки B и C расположены по разные стороны от диаметра, проходящего через точку A.

В этом случае точка A находится на дуге BC. Угол $ \angle BAC $ опирается на дугу BC, которая не содержит точку A. Вершины A, B, C образуют вписанный треугольник, и сумма дуг, на которые они делят окружность, равна $360^\circ$. Две из этих дуг даны в условии: $ \smile AB = 115^\circ $ и $ \smile AC = 43^\circ $.

Найдем градусную меру третьей дуги, $ \smile BC $, на которую опирается угол $ \angle BAC $:

$ \smile BC = 360^\circ - (\smile AB + \smile AC) = 360^\circ - (115^\circ + 43^\circ) $

$ \smile BC = 360^\circ - 158^\circ = 202^\circ $

Теперь найдем величину угла $ \angle BAC $:

$ \angle BAC = \frac{1}{2} \smile BC = \frac{1}{2} \times 202^\circ = 101^\circ $

Ответ: $101^\circ$.