Номер 767, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 767, страница 205.

767 По данным рисунка 266 найдите х.

a)

Угол $x$ является углом между двумя пересекающимися хордами. Согласно теореме, величина такого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые заключены между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. На рисунке эти дуги равны $152^\circ$ и $80^\circ$.
Таким образом, для нахождения $x$ используем формулу:
$x = \frac{152^\circ + 80^\circ}{2} = \frac{232^\circ}{2} = 116^\circ$.
Ответ: $116^\circ$.

б)

Угол, равный $30^\circ$, является углом между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности. Величина такого угла равна полуразности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых секущими на окружности. Дальняя дуга равна $125^\circ$, а ближняя дуга равна $x$.
Составим уравнение согласно теореме: $30^\circ = \frac{125^\circ - x}{2}$.
Умножив обе части уравнения на 2, получим: $60^\circ = 125^\circ - x$.
Отсюда находим $x$: $x = 125^\circ - 60^\circ = 65^\circ$.
Ответ: $65^\circ$.

в)

Угол $x$ — это вписанный угол. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Одна из хорд на рисунке является диаметром, так как проходит через центр окружности. Диаметр делит окружность на две полуокружности, каждая по $180^\circ$. Дуга, на которую опирается угол $x$, и дуга величиной $112^\circ$ вместе составляют одну из таких полуокружностей.
Следовательно, градусная мера дуги, на которую опирается угол $x$, равна: $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$.
Теперь находим величину угла $x$: $x = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$.
Ответ: $34^\circ$.

г)

Угол, равный $20^\circ$, является углом между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности. Его величина равна полуразности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых секущими. Ближняя высекаемая дуга равна $x$. Обозначим дальнюю высекаемую дугу как $y$.
Тогда справедливо равенство: $20^\circ = \frac{y - x}{2}$, что эквивалентно $y - x = 40^\circ$.
Сумма всех четырех дуг, на которые секущие делят окружность, равна $360^\circ$. Сумма двух дуг, не заключенных между секущими, по условию равна $215^\circ$. Следовательно, сумма дуг, заключенных между секущими ($x$ и $y$), равна: $x + y = 360^\circ - 215^\circ = 145^\circ$.
Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
1) $y - x = 40^\circ$
2) $y + x = 145^\circ$
Сложим эти два уравнения: $(y - x) + (y + x) = 40^\circ + 145^\circ$, что приводит к $2y = 185^\circ$, и, следовательно, $y = 92.5^\circ$.
Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение, чтобы найти $x$: $92.5^\circ + x = 145^\circ$, откуда $x = 145^\circ - 92.5^\circ = 52.5^\circ$.
Ответ: $52.5^\circ$.