Номер 770, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 770, страница 205.

770 Точки A и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а бо́льшая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.

Вся окружность составляет $360^\circ$. Точки A и B делят её на две дуги. По условию, меньшая дуга AB равна $140^\circ$.

1. Найдем градусную меру большей дуги AB. Для этого вычтем из полной окружности градусную меру меньшей дуги:
$360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$.

2. Точка M делит большую дугу AB в отношении $6:5$, считая от точки A. Это означает, что большая дуга состоит из двух частей, дуги AM и дуги MB, причём $\text{дуга AM} : \text{дуга MB} = 6:5$.

3. Найдем градусные меры этих дуг. Пусть $x$ — это одна часть в данном отношении. Тогда градусная мера дуги AM равна $6x$, а дуги MB — $5x$. Сумма этих дуг равна градусной мере большей дуги AB:
$6x + 5x = 220^\circ$
$11x = 220^\circ$
$x = \frac{220^\circ}{11} = 20^\circ$

4. Теперь можем найти градусную меру дуги MB, на которую опирается искомый угол BAM:
$\text{дуга MB} = 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ$.

5. Угол BAM — это вписанный угол. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол BAM опирается на дугу MB.
Следовательно, $\angle BAM = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга MB}$.
$\angle BAM = \frac{1}{2} \cdot 100^\circ = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.