Номер 765, страница 205 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 765, страница 205.

765 Ha полуокружности AB взяты точки С и D так, что ◡АС = 37°, ◡BD = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен 15 см.

По условию, AB — диаметр полуокружности, следовательно, градусная мера дуги, на которой лежат точки C и D, равна $180^\circ$. Градусные меры крайних дуг $\cup AC$ и $\cup BD$ равны $37^\circ$ и $23^\circ$ соответственно.

Найдем градусную меру дуги CD, вычитая из градусной меры всей дуги полуокружности AB градусные меры дуг AC и BD. Предполагается, что точки на полуокружности расположены в порядке A, C, D, B.

$\cup CD = \cup AB - \cup AC - \cup BD = 180^\circ - 37^\circ - 23^\circ = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Пусть O — центр окружности. Тогда центральный угол $\angle COD$, опирающийся на дугу CD, равен $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle COD$. Стороны OC и OD являются радиусами окружности, поэтому $OC = OD = r = 15$ см. Треугольник $\triangle COD$ является равнобедренным.

Длину хорды CD, которая является основанием этого треугольника, можно найти по теореме косинусов:

$CD^2 = OC^2 + OD^2 - 2 \cdot OC \cdot OD \cdot \cos(\angle COD)$

Подставим известные значения в формулу:

$CD^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, то:

$CD^2 = 225 + 225 - 2 \cdot 225 \cdot (-\frac{1}{2})$

$CD^2 = 450 + 225 = 675$

Чтобы найти длину CD, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$CD = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

Ответ: $15\sqrt{3}$ см.