Номер 762, страница 204 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Центральные и вписанные углы. 81. Углы, образованные хордами, касательными и секущими. Глава 9. Окружность - номер 762, страница 204.

762 Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду AB так, чтобы: а) ∠AOB = 60°; б) ∠AOB = 90°; в) ∠AOB = 120°; г) ∠AOB = 180°.

Для решения задачи выполним следующие общие шаги:

1. Начертим окружность с центром в точке $O$ с помощью циркуля.
2. Отметим на окружности произвольную точку $A$.
3. Проведем отрезок $OA$, который является радиусом окружности.

Далее, для каждого случая, построим хорду $AB$, отложив от радиуса $OA$ соответствующий центральный угол $\angle AOB$. Для построения углов можно использовать транспортир или, в некоторых случаях, циркуль и линейку.

а) $\angle AOB = 60^\circ$

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 60^\circ$, необходимо построить центральный угол в $60^\circ$.

Построение с помощью транспортира:

1. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с центром окружности $O$, а нулевая отметка на шкале легла на луч $OA$.
2. Найдем на шкале транспортира отметку $60^\circ$ и поставим точку.
3. Проведем луч из точки $O$ через поставленную точку до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим $B$.
4. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

Построение с помощью циркуля:

1. Не меняя раствора циркуля после построения окружности (т.е. оставив его равным радиусу), установим иглу циркуля в точку $A$.
2. Проведем дугу, которая пересечет окружность. Точку пересечения обозначим $B$.
3. Соединим точки $A$ и $B$.

В полученном треугольнике $\triangle AOB$ стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы, а сторона $AB$ по построению равна радиусу. Следовательно, $\triangle AOB$ — равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 60^\circ$.

Ответ: Хорда $AB$ строится путем откладывания от радиуса $OA$ центрального угла $\angle AOB = 60^\circ$. Длина этой хорды равна радиусу окружности.

б) $\angle AOB = 90^\circ$

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 90^\circ$, необходимо построить прямой центральный угол.

Построение с помощью транспортира или угольника:

1. Приложим транспортир к лучу $OA$ с центром в точке $O$ и отложим угол $90^\circ$. Либо воспользуемся прямым углом чертежного угольника, совместив его вершину с точкой $O$ и одну из сторон с лучом $OA$.
2. Проведем второй луч из точки $O$ под прямым углом к лучу $OA$ до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим $B$.
3. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

В этом случае треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным ($ \angle AOB = 90^\circ $) и равнобедренным ($OA = OB$ как радиусы).

Ответ: Хорда $AB$ строится путем построения двух взаимно перпендикулярных радиусов $OA$ и $OB$. Угол $\angle AOB$ будет равен $90^\circ$.

в) $\angle AOB = 120^\circ$

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 120^\circ$, необходимо построить центральный угол в $120^\circ$.

Построение с помощью транспортира:

1. Приложим транспортир к лучу $OA$ с центром в точке $O$ и отложим угол $120^\circ$.
2. Проведем луч из точки $O$ через отметку $120^\circ$ до пересечения с окружностью. Точку пересечения обозначим $B$.
3. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

Построение с помощью циркуля:

1. Построим точку $C$ на окружности так, чтобы $\angle AOC = 60^\circ$ (как в пункте а)).
2. Затем, используя луч $OC$ в качестве отправной точки, аналогично построим точку $B$ на окружности так, чтобы $\angle COB = 60^\circ$.
3. В результате угол $\angle AOB$ будет суммой углов $\angle AOC$ и $\angle COB$: $\angle AOB = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
4. Соединим точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ — искомая хорда.

Ответ: Хорда $AB$ строится путем откладывания от радиуса $OA$ центрального угла $\angle AOB = 120^\circ$.

г) $\angle AOB = 180^\circ$

Для построения хорды $AB$ такой, что $\angle AOB = 180^\circ$, необходимо построить развернутый центральный угол.

1. Проведем прямую через отмеченную точку $A$ и центр окружности $O$.
2. Эта прямая пересечет окружность в двух точках: $A$ и диаметрально противоположной ей точке. Обозначим вторую точку пересечения как $B$.
3. Точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой, следовательно, угол $\angle AOB$ является развернутым и равен $180^\circ$.
4. Отрезок $AB$ является искомой хордой.

Такая хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Это самая длинная из всех возможных хорд.

Ответ: Хорда $AB$ является диаметром окружности. Для ее построения следует провести прямую через точку $A$ и центр $O$ до второго пересечения с окружностью в точке $B$.