Номер 760, страница 199 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 760, страница 199.

760 Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим две окружности. Пусть первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1$, а вторая — центр в точке $O_2$ и радиус $R_2$. Расстояние между центрами этих окружностей обозначим как $d$, то есть $d = |O_1O_2|$.

По условию задачи радиусы окружностей не равны. Для определенности предположим, что радиус первой окружности больше радиуса второй, то есть $R_1 > R_2$. Тогда условие, что расстояние между центрами меньше разности радиусов, запишется в виде неравенства:

$d < R_1 - R_2$

Нам необходимо доказать, что одна окружность лежит внутри другой. Так как мы предположили, что $R_1 > R_2$, мы будем доказывать, что меньшая окружность (с центром $O_2$) полностью находится внутри большей окружности (с центром $O_1$).

Чтобы доказать, что меньшая окружность находится внутри большей, нужно показать, что любая точка, принадлежащая меньшей окружности, находится внутри круга, ограниченного большей окружностью. Другими словами, для любой точки $P$ на окружности с центром $O_2$ должно выполняться условие $|O_1P| < R_1$.

Возьмем произвольную точку $P$ на окружности с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. По определению окружности, расстояние от любой ее точки до центра равно радиусу, следовательно:

$|O_2P| = R_2$

Рассмотрим три точки: $O_1$, $O_2$ и $P$. Для этих точек справедливо неравенство треугольника (или правило для трех точек на одной прямой), которое гласит:

$|O_1P| \le |O_1O_2| + |O_2P|$

Подставим в это неравенство известные нам величины $d = |O_1O_2|$ и $R_2 = |O_2P|$:

$|O_1P| \le d + R_2$

Теперь вернемся к исходному условию задачи: $d < R_1 - R_2$. Из этого неравенства следует, что:

$d + R_2 < R_1$

Теперь у нас есть система из двух неравенств:

1) $|O_1P| \le d + R_2$

2) $d + R_2 < R_1$

Из этих двух соотношений методом транзитивности мы можем заключить, что:

$|O_1P| < R_1$

Поскольку точка $P$ была выбрана на меньшей окружности произвольно, и мы доказали, что расстояние от нее до центра большей окружности $O_1$ строго меньше радиуса $R_1$, это означает, что каждая точка меньшей окружности лежит внутри круга, ограниченного большей окружностью. Таким образом, меньшая окружность полностью лежит внутри большей. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.