Номер 757, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 757, страница 198.

757 В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.

Пусть $r$ — радиус меньшей окружности, а $R$ — радиус большей окружности, который нам необходимо найти.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла. В данном случае, биссектриса делит угол $60^\circ$ на два равных угла по $30^\circ$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно, а $A$ — вершина угла. Точки $A$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром меньшей окружности $O_1$, вершиной угла $A$ и точкой касания $H_1$ на одной из сторон угла. В этом треугольнике $\triangle AO_1H_1$:

• Катет $O_1H_1$ — это радиус меньшей окружности, то есть $O_1H_1 = r$.
• Угол $\angle O_1AH_1$ равен половине угла, то есть $30^\circ$.
• Гипотенуза $AO_1$ — это расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\angle O_1AH_1) = \frac{O_1H_1}{AO_1}$
$\sin(30^\circ) = \frac{r}{AO_1}$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{2} = \frac{r}{AO_1}$, откуда получаем расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности:
$AO_1 = 2r$

Аналогично для большей окружности с центром $O_2$ и радиусом $R$. Расстояние от вершины угла до ее центра $AO_2$ будет равно:
$AO_2 = \frac{R}{\sin(30^\circ)} = \frac{R}{1/2} = 2R$

Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов:
$O_1O_2 = r + R$

Поскольку точки $A$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, расстояние от вершины до центра дальней (большей) окружности равно сумме расстояния от вершины до центра ближней (меньшей) окружности и расстояния между центрами:
$AO_2 = AO_1 + O_1O_2$

Подставим в это равенство найденные выражения:
$2R = 2r + (r + R)$
$2R = 3r + R$
$2R - R = 3r$
$R = 3r$

Ответ: $3r$.