Номер 758, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 758, страница 198.

758 Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.

Пусть даны две окружности: одна с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, а вторая — с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. По условию, расстояние между их центрами, обозначим его $d$, равно сумме их радиусов:

$d = O_1O_2 = R_1 + R_2$

Требуется доказать, что окружности касаются внешним образом, то есть имеют ровно одну общую точку.

1. Доказательство существования общей точки.

Рассмотрим отрезок $O_1O_2$, соединяющий центры окружностей. На этом отрезке существует точка $A$, такая, что расстояние от нее до центра $O_1$ равно $R_1$, то есть $O_1A = R_1$. По определению окружности, точка $A$ лежит на первой окружности.

Теперь найдем расстояние от точки $A$ до центра второй окружности, $O_2$. Так как точка $A$ лежит на отрезке $O_1O_2$, то $O_1O_2 = O_1A + AO_2$. Отсюда:

$AO_2 = O_1O_2 - O_1A$

Подставим известные значения:

$AO_2 = (R_1 + R_2) - R_1 = R_2$

Поскольку расстояние от точки $A$ до центра $O_2$ равно $R_2$, точка $A$ также лежит на второй окружности. Следовательно, точка $A$ является общей точкой для обеих окружностей, и у них есть как минимум одна общая точка.

2. Доказательство единственности общей точки.

Предположим, что существует еще одна общая точка $B$, которая не совпадает с точкой $A$. Если точка $B$ является общей для обеих окружностей, то для нее должны выполняться следующие равенства:

$O_1B = R_1$ и $O_2B = R_2$

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1BO_2$. Длины его сторон: $O_1O_2$, $O_1B$ и $O_2B$. Применим к нему неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Сложим длины сторон $O_1B$ и $O_2B$:

$O_1B + O_2B = R_1 + R_2$

Мы видим, что эта сумма в точности равна длине третьей стороны $O_1O_2$. Равенство в неравенстве треугольника ($a+b=c$) выполняется только в одном случае: если три точки лежат на одной прямой, причем точка $B$ находится между точками $O_1$ и $O_2$.

Таким образом, любая общая точка этих окружностей обязана лежать на отрезке $O_1O_2$. Однако на отрезке $O_1O_2$ существует только одна точка, удаленная от $O_1$ на расстояние $R_1$ — это точка $A$, которую мы нашли ранее. Следовательно, точка $B$ обязана совпадать с точкой $A$.

Это доказывает, что у окружностей может быть только одна общая точка.

Поскольку окружности имеют ровно одну общую точку, они касаются. Так как эта точка лежит на отрезке, соединяющем их центры, то касание является внешним. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то окружности имеют ровно одну общую точку и, следовательно, касаются внешним образом.