Номер 759, страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей - номер 759, страница 198.

Условие.

759 Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то окружности не имеют общих точек, причём одна окружность лежит вне другой окружности.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Пусть даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Расстояние между их центрами обозначим как $d = O_1O_2$. Согласно условию задачи, расстояние между центрами больше суммы радиусов этих окружностей, то есть $d > R_1 + R_2$.

Требуется доказать два факта:
1. Окружности не имеют общих точек.
2. Одна окружность лежит полностью вне другой.

Доказательство первого утверждения (отсутствие общих точек)
Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что окружности всё-таки имеют хотя бы одну общую точку. Назовём её $A$.
Если точка $A$ является общей для обеих окружностей, то по определению окружности она должна быть удалена от центра первой окружности на расстояние $R_1$ и от центра второй — на расстояние $R_2$. Таким образом, мы имеем равенства: $O_1A = R_1$ и $O_2A = R_2$.
Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$, сторонами которого являются отрезки $O_1O_2$, $O_1A$ и $O_2A$. В любом треугольнике (включая вырожденный случай, когда все три точки лежат на одной прямой) сумма длин двух любых сторон не может быть меньше длины третьей стороны (неравенство треугольника). Следовательно, должно выполняться условие:
$O_1A + O_2A \ge O_1O_2$
Подставим в это неравенство длины отрезков:
$R_1 + R_2 \ge d$
Однако это неравенство напрямую противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что $d > R_1 + R_2$.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании общей точки $A$ было неверным. Следовательно, окружности не могут иметь общих точек.

Доказательство второго утверждения (одна окружность вне другой)
Чтобы доказать, что одна окружность лежит вне другой, нужно показать, что любая точка, принадлежащая одной окружности (а также кругу, который она ограничивает), находится снаружи другой окружности.
Рассмотрим произвольную точку $M$, которая принадлежит кругу, ограниченному второй окружностью (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$). Для любой такой точки выполняется неравенство $O_2M \le R_2$. Наша цель — доказать, что точка $M$ лежит вне первой окружности, то есть расстояние от нее до центра первой окружности $O_1$ больше радиуса $R_1$ ($O_1M > R_1$).
Рассмотрим треугольник $\triangle O_1O_2M$. Применим к нему неравенство треугольника:
$O_1M + O_2M \ge O_1O_2$
Выразим отсюда $O_1M$:
$O_1M \ge O_1O_2 - O_2M = d - O_2M$
Поскольку мы выбрали точку $M$ так, что $O_2M \le R_2$, то вычитание $O_2M$ можно заменить вычитанием $R_2$ с изменением знака неравенства (если оно строгое) или сохранением, если нестрогое: $d - O_2M \ge d - R_2$.
Таким образом, мы имеем $O_1M \ge d - R_2$.
Теперь воспользуемся условием задачи $d > R_1 + R_2$. Вычтем из обеих частей этого неравенства $R_2$:
$d - R_2 > R_1$
Сопоставляя два полученных неравенства ($O_1M \ge d - R_2$ и $d - R_2 > R_1$), мы приходим к выводу:
$O_1M > R_1$
Это доказывает, что любая точка $M$ из второго круга находится на расстоянии от центра первого круга, строго превышающем его радиус. Следовательно, весь второй круг (и, в частности, вторая окружность) лежит вне первого круга. Поменяв окружности местами, можно аналогично доказать, что и первый круг лежит полностью вне второго.
Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. Методом от противного было показано, что существование общей точки для двух окружностей противоречит условию $d > R_1 + R_2$. С помощью неравенства треугольника было также доказано, что любая точка одного круга находится на расстоянии от центра другого круга, которое больше радиуса этого другого круга, что означает, что окружности лежат одна вне другой.