Страница 198 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

749 Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5 см, АН = 4 см; б) ∠HAO = 45°, ОА = 4 см; в) ∠HAO = 30°, ОА = 6 см?

По условию задачи, отрезок $AH$ — это перпендикуляр, опущенный из точки $A$ на прямую, проходящую через центр окружности $O$. Пусть точка $H$ лежит на этой прямой. Следовательно, треугольник $AHO$ является прямоугольным, где $\angle AHO = 90^\circ$.

Прямая является касательной к окружности, если расстояние от центра окружности до этой прямой равно ее радиусу. В нашем случае, речь идет о прямой $AH$. Расстояние от центра $O$ до прямой $AH$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $AH$. В прямоугольном треугольнике $AHO$ таким перпендикуляром является катет $OH$.

Таким образом, чтобы прямая $AH$ была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие $OH = R$. По условию, радиус окружности $R = 3$ см. Найдем длину катета $OH$ для каждого случая и сравним ее с радиусом.

Дано: $OA = 5$ см, $AH = 4$ см. В прямоугольном треугольнике $AHO$ гипотенуза $OA = 5$ см, катет $AH = 4$ см. По теореме Пифагора $OA^2 = AH^2 + OH^2$. Выразим $OH$: $OH^2 = OA^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$ см$^2$. $OH = \sqrt{9} = 3$ см. Поскольку $OH = R = 3$ см, прямая $AH$ является касательной к окружности.
Ответ: является.

Дано: $\angle HAO = 45^\circ$, $OA = 4$ см. В прямоугольном треугольнике $AHO$ катет $OH$ находится напротив угла $\angle HAO$. Используем определение синуса: $\sin(\angle HAO) = \frac{OH}{OA}$. $OH = OA \cdot \sin(\angle HAO) = 4 \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см. Теперь сравним $OH$ и $R$. $OH = 2\sqrt{2}$ см, $R = 3$ см. Сравним их квадраты: $OH^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$, а $R^2 = 3^2 = 9$. Так как $8 < 9$, то $OH < R$. Расстояние от центра до прямой меньше радиуса, значит, прямая $AH$ является секущей.
Ответ: не является.

Дано: $\angle HAO = 30^\circ$, $OA = 6$ см. В прямоугольном треугольнике $AHO$ катет $OH$ лежит напротив угла в $30^\circ$. Известно, что катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. $OH = \frac{1}{2} OA = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. Поскольку $OH = R = 3$ см, прямая $AH$ является касательной к окружности.
Ответ: является.

750 Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 5 см и 3 см. Каким целым числом может быть расстояние между их центрами?

Пусть $R_1$ и $R_2$ — радиусы двух окружностей, а $d$ — расстояние между их центрами. По условию задачи, $R_1 = 5$ см и $R_2 = 3$ см.

Для того чтобы две окружности пересекались в двух точках, расстояние между их центрами $d$ должно быть больше разности их радиусов и меньше их суммы. Это условие вытекает из неравенства треугольника для треугольника, вершинами которого являются центры окружностей и одна из точек их пересечения. Стороны этого треугольника равны $R_1$, $R_2$ и $d$.

Математически это условие записывается в виде двойного неравенства:$|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$

Подставим известные значения радиусов в это неравенство:$|5 - 3| < d < 5 + 3$$2 < d < 8$

Таким образом, расстояние между центрами окружностей должно быть строго больше 2 см и строго меньше 8 см. Так как по условию требуется найти все возможные целые значения для этого расстояния, нам нужно перечислить все целые числа, находящиеся в интервале $(2, 8)$.

Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7.

751 Две окружности радиусов 7 см и 3 см касаются внутренним образом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Пусть $R$ — радиус большей окружности, а $r$ — радиус меньшей окружности. Согласно условию задачи, мы имеем $R = 7$ см и $r = 3$ см.

Когда две окружности касаются внутренним образом, их центры и точка касания всегда лежат на одной прямой. Расстояние между центрами окружностей, обозначим его как $d$, в этом случае равно разности их радиусов.

Чтобы это наглядно представить, обозначим центр большей окружности как $O_1$, центр меньшей окружности как $O_2$, а точку их касания как $A$. Точки $O_1$, $O_2$ и $A$ лежат на одной прямой. Расстояние от центра большой окружности до точки касания $A$ равно её радиусу $R$ (отрезок $O_1A$). Этот отрезок состоит из двух частей: расстояния между центрами $d$ (отрезок $O_1O_2$) и радиуса меньшей окружности $r$ (отрезок $O_2A$).

Следовательно, мы можем составить следующее равенство: $O_1A = O_1O_2 + O_2A$ $R = d + r$

Чтобы найти расстояние между центрами $d$, нужно выразить его из этой формулы: $d = R - r$

Теперь подставим числовые значения радиусов в полученную формулу: $d = 7 \text{ см} - 3 \text{ см} = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

752 Две окружности радиусов 10 см и 6 см касаются внешним образом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.

Пусть радиус первой окружности равен $R_1 = 10$ см, а радиус второй окружности — $R_2 = 6$ см.

Согласно условию, окружности касаются внешним образом. Геометрическое свойство такого касания заключается в том, что расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов. Это происходит потому, что центры обеих окружностей и точка их касания лежат на одной прямой.

Обозначим искомое расстояние между центрами как $d$. Формула для его нахождения выглядит следующим образом: $d = R_1 + R_2$

Теперь подставим заданные значения радиусов в эту формулу и произведем вычисление: $d = 10 \text{ см} + 6 \text{ см} = 16 \text{ см}$

Таким образом, расстояние между центрами этих окружностей составляет 16 см.

Ответ: 16 см.

753 Окружность радиуса 8 см расположена вне окружности радиуса r. Каким целым числом может быть r, если расстояние между центрами этих окружностей равно 14 см?

Пусть радиус первой окружности равен $R_1$, а радиус второй окружности — $R_2$. Расстояние между их центрами обозначим как $d$.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Радиус первой окружности $R_1 = 8$ см.
• Радиус второй окружности $R_2 = r$.
• Расстояние между центрами $d = 14$ см.
• $r$ — целое число.

Условие, что одна окружность расположена вне другой, означает, что они не пересекаются и не касаются. Это происходит, когда расстояние между центрами двух окружностей строго больше суммы их радиусов.

Запишем это условие в виде неравенства: $d > R_1 + R_2$

Подставим в неравенство известные значения: $14 > 8 + r$

Решим это неравенство относительно $r$: $14 - 8 > r$ $6 > r$, что то же самое, что и $r < 6$.

Поскольку радиус окружности не может быть отрицательным или равным нулю (иначе это будет точка, а не окружность), мы должны добавить условие $r > 0$.

Таким образом, мы ищем целые числа $r$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 < r < 6$.

Перечислим все целые числа, которые находятся в этом интервале: 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: $r$ может быть равен 1, 2, 3, 4 или 5.

754 Определите взаимное расположение двух окружностей, радиусы которых равны 5 и 9, если расстояние между их центрами равно: а) 16; б) 14; в) 7; г) 4.

Для определения взаимного расположения двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами, обозначим его $d$, с суммой и разностью их радиусов $R_1$ и $R_2$.

По условию задачи, радиусы окружностей равны $R_1 = 9$ и $R_2 = 5$.

Вычислим сумму и разность радиусов:

Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 9 + 5 = 14$.

Разность радиусов: $R_1 - R_2 = 9 - 5 = 4$.

Теперь рассмотрим каждый случай для расстояния $d$.

а) Расстояние между центрами $d = 16$.

Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = 16$, а $R_1 + R_2 = 14$. Поскольку $16 > 14$, выполняется условие $d > R_1 + R_2$. Это означает, что окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой.

Ответ: окружности не пересекаются, расположены одна вне другой.

б) Расстояние между центрами $d = 14$.

Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = 14$ и $R_1 + R_2 = 14$. В этом случае выполняется условие $d = R_1 + R_2$. Это означает, что окружности имеют одну общую точку касания и касаются внешним образом.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

в) Расстояние между центрами $d = 7$.

Сравниваем расстояние $d = 7$ с суммой ($14$) и разностью ($4$) радиусов. Мы видим, что $4 < 7 < 14$, то есть выполняется неравенство $R_1 - R_2 < d < R_1 + R_2$. Это означает, что окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: окружности пересекаются в двух точках.

г) Расстояние между центрами $d = 4$.

Сравниваем расстояние между центрами с разностью радиусов: $d = 4$ и $R_1 - R_2 = 4$. В данном случае выполняется условие $d = R_1 - R_2$. Это означает, что окружности имеют одну общую точку касания и касаются внутренним образом (меньшая окружность находится внутри большей).

Ответ: окружности касаются внутренним образом.

755 Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами О₁ и О₂ и радиусами R и r, если: а) О₁О₂ = 12 см, R = 8 см, r = 6 см; б) О₁О₂ = 12 см, R = 8 см, r = 4 см; в) О₁О₂ = 12 см, R = 6 см, r = 4 см; г) О₁О₂ = 2 см, R = 8 см, r = 6 см; д) О₁О₂ = 3 см, R = 5 см, r = 4 см?

Чтобы определить количество общих касательных у двух окружностей, необходимо сравнить расстояние между их центрами ($d = O_1O_2$) с суммой ($R+r$) и модулем разности ($|R-r|$) их радиусов. В зависимости от соотношения этих величин возможны следующие случаи взаимного расположения окружностей:

• Если $d > R+r$, окружности расположены одна вне другой и не пересекаются. Они имеют 4 общие касательные.
• Если $d = R+r$, окружности касаются внешним образом. Они имеют 3 общие касательные.
• Если $|R-r| < d < R+r$, окружности пересекаются в двух точках. Они имеют 2 общие касательные.
• Если $d = |R-r|$, окружности касаются внутренним образом. Они имеют 1 общую касательную.
• Если $d < |R-r|$, одна окружность находится внутри другой и не касается её. Общих касательных нет (0).

а)

Дано: расстояние между центрами $d = O_1O_2 = 12$ см, радиусы $R = 8$ см и $r = 6$ см.
Найдём сумму и модуль разности радиусов:
$R + r = 8 + 6 = 14$ см.
$|R - r| = |8 - 6| = 2$ см.
Сравниваем расстояние между центрами $d = 12$ см с полученными значениями: $2 < 12 < 14$.
Так как выполняется условие $|R - r| < d < R + r$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2.

б)

Дано: $d = O_1O_2 = 12$ см, $R = 8$ см, $r = 4$ см.
Найдём сумму радиусов:
$R + r = 8 + 4 = 12$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $d = R + r$, так как $12 = 12$.
Это означает, что окружности касаются внешним образом.
Ответ: 3.

в)

Дано: $d = O_1O_2 = 12$ см, $R = 6$ см, $r = 4$ см.
Найдём сумму радиусов:
$R + r = 6 + 4 = 10$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с суммой радиусов: $d > R + r$, так как $12 > 10$.
Это означает, что окружности расположены одна вне другой и не пересекаются.
Ответ: 4.

г)

Дано: $d = O_1O_2 = 2$ см, $R = 8$ см, $r = 6$ см.
Найдём модуль разности радиусов:
$|R - r| = |8 - 6| = 2$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с модулем разности радиусов: $d = |R - r|$, так как $2 = 2$.
Это означает, что окружности касаются внутренним образом.
Ответ: 1.

д)

Дано: $d = O_1O_2 = 3$ см, $R = 5$ см, $r = 4$ см.
Найдём сумму и модуль разности радиусов:
$R + r = 5 + 4 = 9$ см.
$|R - r| = |5 - 4| = 1$ см.
Сравниваем расстояние между центрами с этими значениями: $1 < 3 < 9$.
Так как выполняется условие $|R - r| < d < R + r$, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2.

756 Три равные окружности радиуса r касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого являются: а) центры данных окружностей; б) точки касания данных окружностей.

а) центры данных окружностей

Пусть центры трех равных окружностей радиуса $r$ — это точки $O_1$, $O_2$ и $O_3$. Эти точки являются вершинами искомого треугольника.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. В данном случае все радиусы равны $r$.

Длина стороны треугольника, соединяющей центры $O_1$ и $O_2$, равна $O_1O_2 = r + r = 2r$.Аналогично, длины двух других сторон также равны $2r$: $O_2O_3 = 2r$ и $O_3O_1 = 2r$.

Так как все три стороны треугольника $O_1O_2O_3$ равны, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно, каждый угол равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Ответ: стороны треугольника равны $2r, 2r, 2r$; углы треугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

б) точки касания данных окружностей

Пусть $K_1$ — точка касания окружностей с центрами $O_2$ и $O_3$, $K_2$ — точка касания окружностей с центрами $O_1$ и $O_3$, и $K_3$ — точка касания окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$. Вершинами искомого треугольника являются точки $K_1, K_2, K_3$.

Известно, что точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры. Так как окружности имеют одинаковый радиус $r$, точка касания является серединой отрезка, соединяющего центры.

Следовательно, точки $K_1, K_2, K_3$ являются серединами сторон треугольника $O_1O_2O_3$, рассмотренного в пункте а).

Таким образом, треугольник $K_1K_2K_3$ является срединным треугольником для $\triangle O_1O_2O_3$. По свойству средней линии, каждая сторона срединного треугольника равна половине стороны исходного треугольника, которой она параллельна.

Так как стороны треугольника $O_1O_2O_3$ равны $2r$, то стороны треугольника $K_1K_2K_3$ равны $\frac{1}{2} \cdot 2r = r$.

Поскольку все стороны треугольника $K_1K_2K_3$ равны $r$, он также является равносторонним. Его углы, соответственно, равны $60^\circ$.

Ответ: стороны треугольника равны $r, r, r$; углы треугольника равны $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$.

757 В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности равен r. Найдите радиус большей окружности.

Пусть $r$ — радиус меньшей окружности, а $R$ — радиус большей окружности, который нам необходимо найти.

Центры окружностей, вписанных в угол, лежат на биссектрисе этого угла. В данном случае, биссектриса делит угол $60^\circ$ на два равных угла по $30^\circ$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры меньшей и большей окружностей соответственно, а $A$ — вершина угла. Точки $A$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой — биссектрисе угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром меньшей окружности $O_1$, вершиной угла $A$ и точкой касания $H_1$ на одной из сторон угла. В этом треугольнике $\triangle AO_1H_1$:

• Катет $O_1H_1$ — это радиус меньшей окружности, то есть $O_1H_1 = r$.
• Угол $\angle O_1AH_1$ равен половине угла, то есть $30^\circ$.
• Гипотенуза $AO_1$ — это расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем:
$\sin(\angle O_1AH_1) = \frac{O_1H_1}{AO_1}$
$\sin(30^\circ) = \frac{r}{AO_1}$
Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то $\frac{1}{2} = \frac{r}{AO_1}$, откуда получаем расстояние от вершины угла до центра меньшей окружности:
$AO_1 = 2r$

Аналогично для большей окружности с центром $O_2$ и радиусом $R$. Расстояние от вершины угла до ее центра $AO_2$ будет равно:
$AO_2 = \frac{R}{\sin(30^\circ)} = \frac{R}{1/2} = 2R$

Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между их центрами $O_1O_2$ равно сумме их радиусов:
$O_1O_2 = r + R$

Поскольку точки $A$, $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой, расстояние от вершины до центра дальней (большей) окружности равно сумме расстояния от вершины до центра ближней (меньшей) окружности и расстояния между центрами:
$AO_2 = AO_1 + O_1O_2$

Подставим в это равенство найденные выражения:
$2R = 2r + (r + R)$
$2R = 3r + R$
$2R - R = 3r$
$R = 3r$

Ответ: $3r$.

758 Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.

Пусть даны две окружности: одна с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, а вторая — с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. По условию, расстояние между их центрами, обозначим его $d$, равно сумме их радиусов:

$d = O_1O_2 = R_1 + R_2$

Требуется доказать, что окружности касаются внешним образом, то есть имеют ровно одну общую точку.

1. Доказательство существования общей точки.

Рассмотрим отрезок $O_1O_2$, соединяющий центры окружностей. На этом отрезке существует точка $A$, такая, что расстояние от нее до центра $O_1$ равно $R_1$, то есть $O_1A = R_1$. По определению окружности, точка $A$ лежит на первой окружности.

Теперь найдем расстояние от точки $A$ до центра второй окружности, $O_2$. Так как точка $A$ лежит на отрезке $O_1O_2$, то $O_1O_2 = O_1A + AO_2$. Отсюда:

$AO_2 = O_1O_2 - O_1A$

Подставим известные значения:

$AO_2 = (R_1 + R_2) - R_1 = R_2$

Поскольку расстояние от точки $A$ до центра $O_2$ равно $R_2$, точка $A$ также лежит на второй окружности. Следовательно, точка $A$ является общей точкой для обеих окружностей, и у них есть как минимум одна общая точка.

2. Доказательство единственности общей точки.

Предположим, что существует еще одна общая точка $B$, которая не совпадает с точкой $A$. Если точка $B$ является общей для обеих окружностей, то для нее должны выполняться следующие равенства:

$O_1B = R_1$ и $O_2B = R_2$

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1BO_2$. Длины его сторон: $O_1O_2$, $O_1B$ и $O_2B$. Применим к нему неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Сложим длины сторон $O_1B$ и $O_2B$:

$O_1B + O_2B = R_1 + R_2$

Мы видим, что эта сумма в точности равна длине третьей стороны $O_1O_2$. Равенство в неравенстве треугольника ($a+b=c$) выполняется только в одном случае: если три точки лежат на одной прямой, причем точка $B$ находится между точками $O_1$ и $O_2$.

Таким образом, любая общая точка этих окружностей обязана лежать на отрезке $O_1O_2$. Однако на отрезке $O_1O_2$ существует только одна точка, удаленная от $O_1$ на расстояние $R_1$ — это точка $A$, которую мы нашли ранее. Следовательно, точка $B$ обязана совпадать с точкой $A$.

Это доказывает, что у окружностей может быть только одна общая точка.

Поскольку окружности имеют ровно одну общую точку, они касаются. Так как эта точка лежит на отрезке, соединяющем их центры, то касание является внешним. Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то окружности имеют ровно одну общую точку и, следовательно, касаются внешним образом.

759 Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то окружности не имеют общих точек, причём одна окружность лежит вне другой окружности.

Пусть даны две окружности: первая с центром в точке $O_1$ и радиусом $R_1$, и вторая с центром в точке $O_2$ и радиусом $R_2$. Расстояние между их центрами обозначим как $d = O_1O_2$. Согласно условию задачи, расстояние между центрами больше суммы радиусов этих окружностей, то есть $d > R_1 + R_2$.

Требуется доказать два факта:
1. Окружности не имеют общих точек.
2. Одна окружность лежит полностью вне другой.

Доказательство первого утверждения (отсутствие общих точек)
Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что окружности всё-таки имеют хотя бы одну общую точку. Назовём её $A$.
Если точка $A$ является общей для обеих окружностей, то по определению окружности она должна быть удалена от центра первой окружности на расстояние $R_1$ и от центра второй — на расстояние $R_2$. Таким образом, мы имеем равенства: $O_1A = R_1$ и $O_2A = R_2$.
Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$, сторонами которого являются отрезки $O_1O_2$, $O_1A$ и $O_2A$. В любом треугольнике (включая вырожденный случай, когда все три точки лежат на одной прямой) сумма длин двух любых сторон не может быть меньше длины третьей стороны (неравенство треугольника). Следовательно, должно выполняться условие:
$O_1A + O_2A \ge O_1O_2$
Подставим в это неравенство длины отрезков:
$R_1 + R_2 \ge d$
Однако это неравенство напрямую противоречит исходному условию задачи, которое гласит, что $d > R_1 + R_2$.
Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о существовании общей точки $A$ было неверным. Следовательно, окружности не могут иметь общих точек.

Доказательство второго утверждения (одна окружность вне другой)
Чтобы доказать, что одна окружность лежит вне другой, нужно показать, что любая точка, принадлежащая одной окружности (а также кругу, который она ограничивает), находится снаружи другой окружности.
Рассмотрим произвольную точку $M$, которая принадлежит кругу, ограниченному второй окружностью (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$). Для любой такой точки выполняется неравенство $O_2M \le R_2$. Наша цель — доказать, что точка $M$ лежит вне первой окружности, то есть расстояние от нее до центра первой окружности $O_1$ больше радиуса $R_1$ ($O_1M > R_1$).
Рассмотрим треугольник $\triangle O_1O_2M$. Применим к нему неравенство треугольника:
$O_1M + O_2M \ge O_1O_2$
Выразим отсюда $O_1M$:
$O_1M \ge O_1O_2 - O_2M = d - O_2M$
Поскольку мы выбрали точку $M$ так, что $O_2M \le R_2$, то вычитание $O_2M$ можно заменить вычитанием $R_2$ с изменением знака неравенства (если оно строгое) или сохранением, если нестрогое: $d - O_2M \ge d - R_2$.
Таким образом, мы имеем $O_1M \ge d - R_2$.
Теперь воспользуемся условием задачи $d > R_1 + R_2$. Вычтем из обеих частей этого неравенства $R_2$:
$d - R_2 > R_1$
Сопоставляя два полученных неравенства ($O_1M \ge d - R_2$ и $d - R_2 > R_1$), мы приходим к выводу:
$O_1M > R_1$
Это доказывает, что любая точка $M$ из второго круга находится на расстоянии от центра первого круга, строго превышающем его радиус. Следовательно, весь второй круг (и, в частности, вторая окружность) лежит вне первого круга. Поменяв окружности местами, можно аналогично доказать, что и первый круг лежит полностью вне второго.
Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждение доказано. Методом от противного было показано, что существование общей точки для двух окружностей противоречит условию $d > R_1 + R_2$. С помощью неравенства треугольника было также доказано, что любая точка одного круга находится на расстоянии от центра другого круга, которое больше радиуса этого другого круга, что означает, что окружности лежат одна вне другой.