Страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

737 Начертите прямую а и отметьте точку О, не лежащую на этой прямой. Постройте окружность с центром О так, чтобы она: а) не имела с прямой а общих точек; б) пересекалась с прямой а в двух точках; в) касалась прямой а.

Для решения задачи необходимо рассмотреть взаимное расположение прямой и окружности. Это расположение зависит от соотношения между радиусом окружности ($R$) и расстоянием от центра окружности (точки $O$) до прямой ($a$). Обозначим это расстояние как $d$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Построим этот перпендикуляр $OH$, где $H$ — точка на прямой $a$. Тогда $d = OH$.

а) не имела с прямой $a$ общих точек

Окружность и прямая не имеют общих точек, если расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус окружности. В этом случае вся окружность лежит по одну сторону от прямой, не достигая её.
Условие: $R < d$.
Построение:
1. Начертим прямую $a$ и отметим точку $O$, не лежащую на ней.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$ и отметим точку их пересечения $H$.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, который заведомо меньше длины отрезка $OH$.
Например, можно выбрать радиус, равный половине длины $OH$. Такая окружность не будет пересекать прямую $a$.
Ответ: Необходимо построить окружность с центром $O$, радиус $R$ которой меньше расстояния от точки $O$ до прямой $a$ ($R < OH$).

б) пересекалась с прямой $a$ в двух точках

Окружность и прямая пересекаются в двух точках, если расстояние от центра окружности до прямой меньше, чем радиус окружности. В этом случае прямая называется секущей.
Условие: $R > d$.
Построение:
1. Начертим прямую $a$ и отметим точку $O$, не лежащую на ней.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$ и отметим точку их пересечения $H$.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, который больше длины отрезка $OH$.
Например, можно выбрать радиус, равный удвоенной длине $OH$. Такая окружность пересечет прямую $a$ в двух точках.
Ответ: Необходимо построить окружность с центром $O$, радиус $R$ которой больше расстояния от точки $O$ до прямой $a$ ($R > OH$).

в) касалась прямой $a$

Окружность и прямая касаются, если они имеют ровно одну общую точку (точку касания). Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой в точности равно радиусу окружности. Прямая в этом случае является касательной к окружности, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой.
Условие: $R = d$.
Построение:
1. Начертим прямую $a$ и отметим точку $O$, не лежащую на ней.
2. Из точки $O$ опустим перпендикуляр на прямую $a$. Точка пересечения $H$ и будет точкой касания.
3. С помощью циркуля построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, равным длине отрезка $OH$.
Эта окружность будет касаться прямой $a$ в единственной точке $H$.
Ответ: Необходимо построить окружность с центром $O$, радиус $R$ которой равен расстоянию от точки $O$ до прямой $a$ ($R = OH$).

738 Начертите прямую а и отметьте на ней точку М. Постройте окружность так, чтобы она касалась прямой а в точке М.

Для решения данной задачи необходимо использовать ключевое свойство касательной к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, чтобы окружность касалась прямой $a$ в точке $M$, ее центр должен находиться на прямой, которая перпендикулярна прямой $a$ и проходит через точку $M$.

Построение и обоснование:

1. С помощью линейки чертим произвольную прямую и обозначаем ее $a$. На этой прямой отмечаем произвольную точку $M$.

2. Строим прямую, перпендикулярную прямой $a$ в точке $M$. Для этого выполняем следующие действия с помощью циркуля и линейки:
а) Устанавливаем острие циркуля в точку $M$ и проводим дугу произвольного, но фиксированного радиуса так, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Назовем эти точки $P_1$ и $P_2$.
б) Из точек $P_1$ и $P_2$ как из центров проводим две дуги одинаковым радиусом (важно, чтобы этот радиус был больше половины отрезка $P_1P_2$, то есть больше $MP_1$) так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой $a$. Назовем одну из точек пересечения $N$.
в) Через точки $M$ и $N$ проводим прямую. По построению, прямая $MN$ перпендикулярна прямой $a$.

3. Выбираем на прямой $MN$ любую точку $O$, не совпадающую с точкой $M$. Эта точка $O$ и будет центром искомой окружности. Точку $O$ можно выбрать как с одной, так и с другой стороны от прямой $a$.

4. Проводим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OM$. Для этого устанавливаем острие циркуля в точку $O$, а грифель — в точку $M$, и чертим окружность.

Полученная окружность касается прямой $a$ в точке $M$. Это верно, так как ее радиус $OM$ лежит на прямой $MN$, которая перпендикулярна прямой $a$ в точке $M$. Поскольку можно выбрать любую точку $O$ на прямой $MN$ (кроме $M$), существует бесконечное множество окружностей, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Для построения окружности, касающейся прямой $a$ в точке $M$, необходимо: 1) через точку $M$ провести прямую, перпендикулярную прямой $a$; 2) на этой перпендикулярной прямой выбрать любую точку $O$ (отличную от $M$) в качестве центра окружности; 3) построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OM$.

739 Начертите прямую и отметьте на ней две точки А и В. Постройте окружности с центрами в точках А и В так чтобы: а) окружности не имели общих точек и одна окружность лежала внутри другой; б) окружности не имели общих точек и одна окружность лежала вне другой; в) окружности пересекались в двух точках; г) окружности касались внешним образом; д) окружности касались внутренним образом.

Сначала начертим прямую и отметим на ней две различные точки А и В. Расстояние между этими точками обозначим как $d$, то есть $d = AB$. Окружность с центром в точке А будем называть $\omega_1$ и ее радиус обозначим $R_1$. Окружность с центром в точке В будем называть $\omega_2$ и ее радиус обозначим $R_2$.

а) Чтобы окружности не имели общих точек и одна окружность лежала внутри другой (например, $\omega_2$ внутри $\omega_1$), необходимо, чтобы радиус внешней окружности был больше радиуса внутренней ($R_1 > R_2$), а расстояние между центрами $d$ было меньше разности их радиусов. Математически это условие выражается как $d < R_1 - R_2$ (или в общем виде $d < |R_1 - R_2|$).
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 2$ см. Выберем радиусы $R_1 = 5$ см и $R_2 = 2$ см. Тогда разность радиусов $R_1 - R_2 = 3$ см. Поскольку $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$, условие $d < R_1 - R_2$ выполняется. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 5 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 2 см. В результате окружность $\omega_2$ окажется полностью внутри $\omega_1$ без общих точек.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло неравенству $d < |R_1 - R_2|$.

б) Чтобы окружности не имели общих точек и одна окружность лежала вне другой, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было больше суммы их радиусов. Математически это условие выражается как $d > R_1 + R_2$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 5$ см. Выберем радиусы $R_1 = 1$ см и $R_2 = 2$ см. Тогда сумма радиусов $R_1 + R_2 = 3$ см. Поскольку $5 \text{ см} > 3 \text{ см}$, условие $d > R_1 + R_2$ выполняется. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 1 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 2 см. Окружности будут расположены отдельно друг от друга и не будут иметь общих точек.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло неравенству $d > R_1 + R_2$.

в) Чтобы окружности пересекались в двух точках, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было меньше суммы их радиусов, но больше модуля разности их радиусов. Это условие известно как неравенство треугольника, примененное к треугольнику с вершинами в точках А, В и одной из точек пересечения окружностей. Математически это условие записывается в виде двойного неравенства: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 4$ см. Выберем радиусы $R_1 = 3$ см и $R_2 = 2.5$ см. Тогда сумма радиусов $R_1 + R_2 = 5.5$ см, а модуль разности $|R_1 - R_2| = 0.5$ см. Поскольку $0.5 \text{ см} < 4 \text{ см} < 5.5 \text{ см}$, условие выполняется. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 3 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 2.5 см. Окружности пересекутся в двух различных точках.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло двойному неравенству $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

г) Чтобы окружности касались внешним образом, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было в точности равно сумме их радиусов. Точка касания будет лежать на отрезке АВ. Математически это условие выражается как $d = R_1 + R_2$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 5$ см. Выберем радиусы, сумма которых равна 5 см, например, $R_1 = 2$ см и $R_2 = 3$ см. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 2 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 3 см. Окружности коснутся в одной точке, которая делит отрезок АВ в отношении 2:3.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло равенству $d = R_1 + R_2$.

д) Чтобы окружности касались внутренним образом, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было в точности равно модулю разности их радиусов. В этом случае меньшая окружность будет находиться внутри большей, и они будут иметь одну общую точку. Математически это условие выражается как $d = |R_1 - R_2|$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 2$ см. Выберем радиусы, разность которых равна 2 см, например, $R_1 = 5$ см и $R_2 = 3$ см. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 5 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 3 см. Окружность $\omega_2$ будет касаться окружности $\omega_1$ изнутри в одной точке.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло равенству $d = |R_1 - R_2|$.

740 Пусть d — расстояние от центра окружности радиуса r до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) r = 16 см, d = 12 см; б) r = 5 см, d = 4,2 см; в) r = 7,2 дм, d = 3,7 дм; г) r = 8 см, d = 1,2 дм; д) r = 5 см, d = 50 мм?

Взаимное расположение прямой и окружности определяется соотношением между расстоянием $d$ от центра окружности до прямой и радиусом окружности $r$. Существует три возможных случая:

• Если $d < r$ (расстояние от центра до прямой меньше радиуса), то прямая пересекает окружность в двух точках.
• Если $d = r$ (расстояние от центра до прямой равно радиусу), то прямая касается окружности в одной точке.
• Если $d > r$ (расстояние от центра до прямой больше радиуса), то прямая и окружность не имеют общих точек.

а) Даны значения: радиус $r = 16$ см, расстояние $d = 12$ см.
Сравним $d$ и $r$: $12 \text{ см} < 16 \text{ см}$, следовательно, $d < r$.
Это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: прямая и окружность пересекаются.

б) Даны значения: радиус $r = 5$ см, расстояние $d = 4,2$ см.
Сравним $d$ и $r$: $4,2 \text{ см} < 5 \text{ см}$, следовательно, $d < r$.
Это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: прямая и окружность пересекаются.

в) Даны значения: радиус $r = 7,2$ дм, расстояние $d = 3,7$ дм.
Сравним $d$ и $r$: $3,7 \text{ дм} < 7,2 \text{ дм}$, следовательно, $d < r$.
Это означает, что прямая пересекает окружность в двух точках.
Ответ: прямая и окружность пересекаются.

г) Даны значения: радиус $r = 8$ см, расстояние $d = 1,2$ дм.
Для сравнения необходимо привести значения к одной единице измерения. Переведем дециметры в сантиметры: $d = 1,2 \text{ дм} = 12 \text{ см}$.
Теперь сравним $d$ и $r$: $12 \text{ см} > 8 \text{ см}$, следовательно, $d > r$.
Это означает, что прямая и окружность не имеют общих точек.
Ответ: прямая и окружность не пересекаются.

д) Даны значения: радиус $r = 5$ см, расстояние $d = 50$ мм.
Для сравнения необходимо привести значения к одной единице измерения. Переведем миллиметры в сантиметры: $d = 50 \text{ мм} = 5 \text{ см}$.
Теперь сравним $d$ и $r$: $5 \text{ см} = 5 \text{ см}$, следовательно, $d = r$.
Это означает, что прямая касается окружности в одной точке.
Ответ: прямая и окружность касаются.

741 Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А, является секущей по отношению к данной окружности.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ расположена так, что расстояние от нее до центра окружности, которое мы обозначим как $d = OA$, меньше радиуса $R$. Таким образом, по условию задачи, у нас есть неравенство $d < R$. Это означает, что точка $A$ лежит внутри окружности.

Нам необходимо доказать, что любая прямая $l$, которая проходит через точку $A$, является секущей для данной окружности.

Вспомним определение секущей. Прямая является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью две общие точки. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности до этой прямой меньше радиуса.

Пусть $l$ — произвольная прямая, проходящая через точку $A$. Найдем расстояние от центра окружности $O$ до этой прямой. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к прямой $l$, где точка $H$ лежит на прямой $l$. Длина этого перпендикуляра $OH$ и есть искомое расстояние, обозначим его $h$, то есть $h = OH$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAH$. Поскольку $OH$ является перпендикуляром к прямой $l$, угол $\angle OHA$ — прямой, и, следовательно, треугольник $\triangle OAH$ — прямоугольный. В этом треугольнике отрезок $OA$ является гипотенузой, а отрезок $OH$ — катетом.

Известно, что в прямоугольном треугольнике длина любого катета всегда меньше или равна длине гипотенузы. Таким образом, для нашего треугольника справедливо неравенство $OH \le OA$.

Используя введенные нами обозначения, это неравенство можно записать как $h \le d$.

Из условия задачи мы знаем, что $d < R$.

Объединив два полученных неравенства, получаем цепочку: $h \le d < R$. Из этой цепочки следует, что $h < R$.

Итак, мы доказали, что расстояние $h$ от центра окружности $O$ до произвольной прямой $l$, проходящей через точку $A$, строго меньше радиуса $R$. Это означает, что прямая $l$ пересекает окружность в двух различных точках, то есть является секущей. Так как прямая $l$ была выбрана произвольно, это утверждение справедливо для любой прямой, проходящей через точку $A$.

Ответ: Так как расстояние от центра окружности до любой прямой, проходящей через точку А, меньше радиуса ($h < R$), то любая такая прямая пересекает окружность в двух точках и, следовательно, является секущей по отношению к данной окружности. Что и требовалось доказать.

742 Даны квадрат ОABС со стороной, равной 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, AB, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Для того чтобы определить, является ли прямая секущей по отношению к окружности, необходимо найти расстояние ($d$) от центра окружности до этой прямой и сравнить его с радиусом окружности ($r$). Прямая является секущей, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$).

В условии даны квадрат OABC со стороной 6 см и окружность с центром в точке O и радиусом $r = 5$ см. Поскольку O является вершиной квадрата и одновременно центром окружности, мы можем расположить квадрат в системе координат так, что O находится в начале координат, вершина A на оси Ox, а вершина C на оси Oy. Тогда координаты вершин: O(0, 0), A(6, 0), B(6, 6), C(0, 6).

Рассмотрим каждую из указанных прямых.

OA

Прямая OA проходит через центр окружности, точку O. Расстояние от центра окружности до любой прямой, проходящей через него, равно нулю. Следовательно, расстояние $d_{OA} = 0$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $0 \text{ см} < 5 \text{ см}$. Так как $d_{OA} < r$, прямая OA пересекает окружность в двух точках и является секущей.
Ответ: прямая OA является секущей.

AB

Поскольку OABC — квадрат, его стороны OA и AB перпендикулярны. Это означает, что расстояние от центра окружности O до прямой, содержащей отрезок AB, равно длине отрезка OA. Длина стороны квадрата равна 6 см, поэтому $OA = 6$ см. Таким образом, расстояние $d_{AB} = 6$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $6 \text{ см} > 5 \text{ см}$. Так как $d_{AB} > r$, прямая AB не пересекает окружность.
Ответ: прямая AB не является секущей.

BC

В квадрате OABC сторона BC параллельна стороне OA. Расстояние от центра O (который лежит на прямой, содержащей OA) до прямой BC равно длине перпендикулярной стороны OC. Длина стороны квадрата равна 6 см, поэтому $OC = 6$ см. Таким образом, расстояние $d_{BC} = 6$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $6 \text{ см} > 5 \text{ см}$. Так как $d_{BC} > r$, прямая BC не пересекает окружность.
Ответ: прямая BC не является секущей.

AC

Прямая AC содержит диагональ квадрата. Для нахождения расстояния от центра O до прямой AC, рассмотрим прямоугольный треугольник OAC, где катеты $OA = 6$ см и $OC = 6$ см. Расстояние от вершины прямого угла O до гипотенузы AC является высотой $h$, проведенной к гипотенузе. Длину этой высоты можно найти, используя формулу для расстояния от точки $O(0,0)$ до прямой, проходящей через точки $A(6,0)$ и $C(0,6)$. Уравнение этой прямой: $x + y - 6 = 0$. Расстояние вычисляется по формуле: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ Подставляя значения ($x_0=0, y_0=0, A=1, B=1, C=-6$), получаем: $d_{AC} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ см}$. Теперь сравним $3\sqrt{2}$ с радиусом $r=5$. Для этого сравним их квадраты: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. $5^2 = 25$. Поскольку $18 < 25$, то $3\sqrt{2} < 5$. Так как $d_{AC} < r$, прямая AC пересекает окружность в двух точках и является секущей.
Ответ: прямая AC является секущей.

743 Радиус OM окружности с центром О делит хорду AB пополам. Докажите, что касательная, проведённая через точку М, параллельна хорде AB.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. $AB$ — хорда этой окружности, а $OM$ — радиус. Пусть прямая, содержащая радиус $OM$, пересекает хорду $AB$ в точке $K$. По условию задачи, радиус делит хорду пополам, это означает, что точка $K$ является серединой хорды $AB$, то есть $AK = KB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами одной и той же окружности, поэтому $OA = OB$. Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$ отрезок $OK$ соединяет вершину $O$ с серединой основания $AB$, следовательно, $OK$ является медианой. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Таким образом, отрезок $OK$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OK \perp AB$.

Поскольку радиус $OM$ лежит на той же прямой, что и отрезок $OK$, то радиус $OM$ перпендикулярен хорде $AB$: $OM \perp AB$.

Пусть $c$ — касательная к окружности, проведенная через точку $M$. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, касательная $c$ перпендикулярна радиусу $OM$: $c \perp OM$.

Мы получили, что две прямые — прямая, содержащая хорду $AB$, и касательная $c$ — перпендикулярны одной и той же прямой, содержащей радиус $OM$. Известно, что если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Следовательно, касательная $c$ параллельна хорде $AB$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

744 Прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите AB, если ОА = 2 см, а r = 1,5 см.

Поскольку прямая AB касается окружности с центром в точке O в точке B, то радиус OB, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной AB. Это означает, что угол ∠OBA является прямым, и, следовательно, треугольник ▵OAB — прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике ▵OAB:

• OA является гипотенузой (сторона, лежащая напротив прямого угла), и ее длина равна $OA = 2$ см.

• OB является катетом, и его длина равна радиусу окружности $r$, то есть $OB = 1,5$ см.

• AB является вторым катетом, длину которого нам нужно найти.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$AB^2 + OB^2 = OA^2$

Подставим известные значения в формулу:

$AB^2 + 1,5^2 = 2^2$

Вычислим квадраты:

$AB^2 + 2,25 = 4$

Теперь выразим $AB^2$:

$AB^2 = 4 - 2,25$

$AB^2 = 1,75$

Чтобы найти длину AB, извлечем квадратный корень из 1,75:

$AB = \sqrt{1,75}$

Можно представить десятичную дробь в виде обыкновенной для упрощения:

$1,75 = \frac{175}{100} = \frac{7}{4}$

Тогда:

$AB = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $AB = \frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

745 Прямая AB касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите AB, если ∠AOB = 60°, а r = 12 см.

Рассмотрим треугольник, образованный точками A, O (центр окружности) и B (точка касания).

По условию задачи, прямая AB является касательной к окружности в точке B. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Это означает, что радиус OB перпендикулярен прямой AB. Следовательно, угол $\angle OBA$ является прямым, то есть $\angle OBA = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOB$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине B. В этом треугольнике нам известны:

1. Длина катета $OB$, который является радиусом окружности: $OB = r = 12$ см.

2. Величина острого угла $\angle AOB = 60^\circ$.

Искомая сторона $AB$ является вторым катетом этого треугольника.

Для нахождения длины катета $AB$ можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $\angle AOB$ противолежащим катетом является сторона $AB$, а прилежащим — сторона $OB$.

Запишем соответствующую формулу:$$ \tan(\angle AOB) = \frac{AB}{OB} $$

Подставим известные значения в это уравнение:$$ \tan(60^\circ) = \frac{AB}{12} $$

Значение тангенса $60^\circ$ является табличной величиной и равно $\sqrt{3}$.$$ \sqrt{3} = \frac{AB}{12} $$

Теперь выразим искомую длину $AB$:$$ AB = 12 \cdot \sqrt{3} \text{ (см)} $$

Ответ: $12\sqrt{3}$ см.

746 Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках A и B. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

По условию, прямая $MB$ является касательной к окружности с центром $O$ в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OB \perp MB$, и $\angle OBM = 90^\circ$.

Точка $C$ симметрична точке $O$ относительно точки $B$. По определению симметрии, точка $B$ — середина отрезка $OC$, и точки $O, B, C$ лежат на одной прямой. Отсюда следует, что $OB = BC$.

Так как точки $O, B, C$ лежат на одной прямой и $MB \perp OB$, то прямая $MB$ перпендикулярна всей прямой $OC$. Значит, $\angle CBM = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OBM$ и $\triangle CBM$. У них есть: 1. Общая сторона $MB$. 2. Равные стороны $OB = BC$ (из условия симметрии). 3. Равные углы $\angle OBM = \angle CBM = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle OBM \cong \triangle CBM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно $\angle BMO = \angle BMC$.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки $M$, прямая $MO$, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла $\angle AMB$, образованного касательными. Таким образом, $\angle AMB = 2\angle BMO$.

Пусть $\angle BMC = \alpha$. Тогда из доказанного равенства $\angle BMO = \angle BMC$ следует, что $\angle BMO = \alpha$. А из того, что $MO$ — биссектриса угла $\angle AMB$, получаем $\angle AMB = 2\angle BMO = 2\alpha$.

Угол $\angle AMC$ состоит из суммы двух углов: $\angle AMB$ и $\angle BMC$.
$\angle AMC = \angle AMB + \angle BMC = 2\alpha + \alpha = 3\alpha$.
Подставляя обратно $\angle BMC$ вместо $\alpha$, получаем $\angle AMC = 3\angle BMC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

747 Из концов диаметра AB данной окружности проведены перпендикуляры АА₁ и BB₁ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру AB. Докажите, что точка касания является серединой отрезка A₁B₁.

Пусть дана окружность с центром в точке O. AB — её диаметр, следовательно, точка O является серединой отрезка AB, то есть $AO = OB$.

Пусть l — касательная к окружности в точке C. По условию, из точек A и B опущены перпендикуляры AA₁ и BB₁ на прямую l. Это означает, что $AA_1 \perp l$ и $BB_1 \perp l$.

Поскольку прямые AA₁ и BB₁ перпендикулярны одной и той же прямой l, они параллельны друг другу: $AA_1 \parallel BB_1$.

Рассмотрим четырехугольник AA₁B₁B. Две его стороны (AA₁ и BB₁) параллельны, а две другие (AB и A₁B₁) в общем случае не параллельны (так как по условию касательная l не перпендикулярна диаметру AB). Следовательно, четырехугольник AA₁B₁B является трапецией с основаниями AA₁ и BB₁ и боковыми сторонами AB и A₁B₁.

Проведем радиус OC к точке касания C. Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OC \perp l$.

Мы имеем три отрезка AA₁, OC и BB₁, которые все перпендикулярны прямой l. Следовательно, они параллельны между собой: $AA_1 \parallel OC \parallel BB_1$.

В трапеции AA₁B₁B точка O является серединой боковой стороны AB. Через точку O проведена прямая, содержащая отрезок OC, которая параллельна основаниям трапеции AA₁ и BB₁.

Согласно свойству трапеции (которое является следствием теоремы Фалеса), если через середину одной боковой стороны трапеции провести прямую, параллельную основаниям, то она пересечет вторую боковую сторону в её середине.

Прямая, содержащая отрезок OC, пересекает боковую сторону A₁B₁ в точке C. Следовательно, точка C является серединой отрезка A₁B₁. Это означает, что $A_1C = CB_1$.

Таким образом, доказано, что точка касания является серединой отрезка A₁B₁.

Ответ: Утверждение доказано.

748 В прямоугольной трапеции ABCD ∠A = ∠D = 90°. Докажите, что: а) прямая AD является касательной к окружности с центром B радиуса AB; б) прямая CD является касательной к окружности с центром A радиуса AD; в) прямая CD не является касательной к окружности с центром В радиуса BС.

а) Чтобы доказать, что прямая $AD$ является касательной к окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $AB$, необходимо показать, что расстояние от центра окружности (точки $B$) до прямой $AD$ равно радиусу этой окружности ($AB$). Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. По условию, в трапеции $ABCD$ угол $A$ является прямым, то есть $ \angle A = 90^\circ $. Это означает, что сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$ ($AB \perp AD$). Следовательно, отрезок $AB$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на прямую $AD$. Таким образом, расстояние от центра $B$ до прямой $AD$ равно длине отрезка $AB$. Поскольку расстояние от центра окружности до прямой $AD$ равно $AB$, и радиус окружности также равен $AB$, то прямая $AD$ является касательной к данной окружности.
Ответ: Прямая $AD$ является касательной к окружности с центром $B$ и радиусом $AB$, так как расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу.

б) Чтобы доказать, что прямая $CD$ является касательной к окружности с центром в точке $A$ и радиусом, равным $AD$, нужно показать, что расстояние от центра $A$ до прямой $CD$ равно радиусу $AD$. По условию, в трапеции $ABCD$ угол $D$ является прямым, то есть $ \angle D = 90^\circ $. Это означает, что сторона $AD$ перпендикулярна стороне $CD$ ($AD \perp CD$). Таким образом, отрезок $AD$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на прямую $CD$, и его длина равна расстоянию от центра $A$ до прямой $CD$. Так как расстояние от центра окружности $A$ до прямой $CD$ ($AD$) равно радиусу окружности ($AD$), прямая $CD$ является касательной к данной окружности.
Ответ: Прямая $CD$ является касательной к окружности с центром $A$ и радиусом $AD$, так как расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу.

в) Чтобы доказать, что прямая $CD$ не является касательной к окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BC$, нужно показать, что расстояние от центра $B$ до прямой $CD$ не равно радиусу $BC$. Найдем расстояние от точки $B$ до прямой $CD$. Для этого опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на прямую $CD$. Длина отрезка $BH$ и будет этим расстоянием. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с $ \angle A = \angle D = 90^\circ $, основания $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), а боковая сторона $AD$ перпендикулярна обоим основаниям. Рассмотрим четырехугольник $ABHD$. В нем $AB \parallel HD$ (так как $H$ лежит на прямой $CD$), $ \angle D = 90^\circ $ и $ \angle BHD = 90^\circ $ (по построению $BH \perp CD$). Отсюда следует, что $AD \parallel BH$ (как два перпендикуляра к одной прямой). Таким образом, $ABHD$ — прямоугольник, и $BH = AD$. Теперь сравним найденное расстояние $BH = AD$ с радиусом окружности $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (с прямым углом $H$). В этом треугольнике $BC$ — гипотенуза, а $BH$ и $HC$ — катеты. Поскольку $ABCD$ — трапеция, а не прямоугольник, ее основания не равны ($AB \neq CD$), значит, длина катета $HC = |CD - AB|$ больше нуля. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов, поэтому $BC > BH$. Так как $BH = AD$, мы получаем неравенство $BC > AD$. Это означает, что радиус окружности ($BC$) больше, чем расстояние от ее центра ($B$) до прямой $CD$ (равное $AD$).
Ответ: Прямая $CD$ не является касательной к окружности с центром $B$ и радиусом $BC$, так как расстояние от центра $B$ до прямой $CD$ равно $AD$, что строго меньше радиуса $BC$.