Номер 739, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 739, страница 197.

739 Начертите прямую и отметьте на ней две точки А и В. Постройте окружности с центрами в точках А и В так чтобы: а) окружности не имели общих точек и одна окружность лежала внутри другой; б) окружности не имели общих точек и одна окружность лежала вне другой; в) окружности пересекались в двух точках; г) окружности касались внешним образом; д) окружности касались внутренним образом.

Сначала начертим прямую и отметим на ней две различные точки А и В. Расстояние между этими точками обозначим как $d$, то есть $d = AB$. Окружность с центром в точке А будем называть $\omega_1$ и ее радиус обозначим $R_1$. Окружность с центром в точке В будем называть $\omega_2$ и ее радиус обозначим $R_2$.

а) Чтобы окружности не имели общих точек и одна окружность лежала внутри другой (например, $\omega_2$ внутри $\omega_1$), необходимо, чтобы радиус внешней окружности был больше радиуса внутренней ($R_1 > R_2$), а расстояние между центрами $d$ было меньше разности их радиусов. Математически это условие выражается как $d < R_1 - R_2$ (или в общем виде $d < |R_1 - R_2|$).
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 2$ см. Выберем радиусы $R_1 = 5$ см и $R_2 = 2$ см. Тогда разность радиусов $R_1 - R_2 = 3$ см. Поскольку $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$, условие $d < R_1 - R_2$ выполняется. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 5 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 2 см. В результате окружность $\omega_2$ окажется полностью внутри $\omega_1$ без общих точек.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло неравенству $d < |R_1 - R_2|$.

б) Чтобы окружности не имели общих точек и одна окружность лежала вне другой, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было больше суммы их радиусов. Математически это условие выражается как $d > R_1 + R_2$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 5$ см. Выберем радиусы $R_1 = 1$ см и $R_2 = 2$ см. Тогда сумма радиусов $R_1 + R_2 = 3$ см. Поскольку $5 \text{ см} > 3 \text{ см}$, условие $d > R_1 + R_2$ выполняется. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 1 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 2 см. Окружности будут расположены отдельно друг от друга и не будут иметь общих точек.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло неравенству $d > R_1 + R_2$.

в) Чтобы окружности пересекались в двух точках, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было меньше суммы их радиусов, но больше модуля разности их радиусов. Это условие известно как неравенство треугольника, примененное к треугольнику с вершинами в точках А, В и одной из точек пересечения окружностей. Математически это условие записывается в виде двойного неравенства: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 4$ см. Выберем радиусы $R_1 = 3$ см и $R_2 = 2.5$ см. Тогда сумма радиусов $R_1 + R_2 = 5.5$ см, а модуль разности $|R_1 - R_2| = 0.5$ см. Поскольку $0.5 \text{ см} < 4 \text{ см} < 5.5 \text{ см}$, условие выполняется. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 3 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 2.5 см. Окружности пересекутся в двух различных точках.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло двойному неравенству $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

г) Чтобы окружности касались внешним образом, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было в точности равно сумме их радиусов. Точка касания будет лежать на отрезке АВ. Математически это условие выражается как $d = R_1 + R_2$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 5$ см. Выберем радиусы, сумма которых равна 5 см, например, $R_1 = 2$ см и $R_2 = 3$ см. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 2 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 3 см. Окружности коснутся в одной точке, которая делит отрезок АВ в отношении 2:3.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло равенству $d = R_1 + R_2$.

д) Чтобы окружности касались внутренним образом, необходимо, чтобы расстояние между их центрами $d$ было в точности равно модулю разности их радиусов. В этом случае меньшая окружность будет находиться внутри большей, и они будут иметь одну общую точку. Математически это условие выражается как $d = |R_1 - R_2|$.
Пример построения: Пусть расстояние $AB = d = 2$ см. Выберем радиусы, разность которых равна 2 см, например, $R_1 = 5$ см и $R_2 = 3$ см. Строим окружность $\omega_1$ с центром А и радиусом 5 см и окружность $\omega_2$ с центром В и радиусом 3 см. Окружность $\omega_2$ будет касаться окружности $\omega_1$ изнутри в одной точке.
Ответ: Необходимо выбрать радиусы $R_1$ и $R_2$ так, чтобы расстояние между центрами $d=AB$ удовлетворяло равенству $d = |R_1 - R_2|$.