Номер 738, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 9. Окружность. Параграф 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей - номер 738, страница 197.

Условие.

738 Начертите прямую а и отметьте на ней точку М. Постройте окружность так, чтобы она касалась прямой а в точке М.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для решения данной задачи необходимо использовать ключевое свойство касательной к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, чтобы окружность касалась прямой $a$ в точке $M$, ее центр должен находиться на прямой, которая перпендикулярна прямой $a$ и проходит через точку $M$.

Построение и обоснование:

1. С помощью линейки чертим произвольную прямую и обозначаем ее $a$. На этой прямой отмечаем произвольную точку $M$.

2. Строим прямую, перпендикулярную прямой $a$ в точке $M$. Для этого выполняем следующие действия с помощью циркуля и линейки:
а) Устанавливаем острие циркуля в точку $M$ и проводим дугу произвольного, но фиксированного радиуса так, чтобы она пересекла прямую $a$ в двух точках. Назовем эти точки $P_1$ и $P_2$.
б) Из точек $P_1$ и $P_2$ как из центров проводим две дуги одинаковым радиусом (важно, чтобы этот радиус был больше половины отрезка $P_1P_2$, то есть больше $MP_1$) так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой $a$. Назовем одну из точек пересечения $N$.
в) Через точки $M$ и $N$ проводим прямую. По построению, прямая $MN$ перпендикулярна прямой $a$.

3. Выбираем на прямой $MN$ любую точку $O$, не совпадающую с точкой $M$. Эта точка $O$ и будет центром искомой окружности. Точку $O$ можно выбрать как с одной, так и с другой стороны от прямой $a$.

4. Проводим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OM$. Для этого устанавливаем острие циркуля в точку $O$, а грифель — в точку $M$, и чертим окружность.

Полученная окружность касается прямой $a$ в точке $M$. Это верно, так как ее радиус $OM$ лежит на прямой $MN$, которая перпендикулярна прямой $a$ в точке $M$. Поскольку можно выбрать любую точку $O$ на прямой $MN$ (кроме $M$), существует бесконечное множество окружностей, удовлетворяющих условию задачи.

Ответ: Для построения окружности, касающейся прямой $a$ в точке $M$, необходимо: 1) через точку $M$ провести прямую, перпендикулярную прямой $a$; 2) на этой перпендикулярной прямой выбрать любую точку $O$ (отличную от $M$) в качестве центра окружности; 3) построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OM$.