Номер 742, страница 197 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Окружность и прямые. 78. Общие касательные двух окружностей. Глава 9. Окружность - номер 742, страница 197.

742 Даны квадрат ОABС со стороной, равной 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, AB, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Для того чтобы определить, является ли прямая секущей по отношению к окружности, необходимо найти расстояние ($d$) от центра окружности до этой прямой и сравнить его с радиусом окружности ($r$). Прямая является секущей, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$).

В условии даны квадрат OABC со стороной 6 см и окружность с центром в точке O и радиусом $r = 5$ см. Поскольку O является вершиной квадрата и одновременно центром окружности, мы можем расположить квадрат в системе координат так, что O находится в начале координат, вершина A на оси Ox, а вершина C на оси Oy. Тогда координаты вершин: O(0, 0), A(6, 0), B(6, 6), C(0, 6).

Рассмотрим каждую из указанных прямых.

OA

Прямая OA проходит через центр окружности, точку O. Расстояние от центра окружности до любой прямой, проходящей через него, равно нулю. Следовательно, расстояние $d_{OA} = 0$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $0 \text{ см} < 5 \text{ см}$. Так как $d_{OA} < r$, прямая OA пересекает окружность в двух точках и является секущей.
Ответ: прямая OA является секущей.

AB

Поскольку OABC — квадрат, его стороны OA и AB перпендикулярны. Это означает, что расстояние от центра окружности O до прямой, содержащей отрезок AB, равно длине отрезка OA. Длина стороны квадрата равна 6 см, поэтому $OA = 6$ см. Таким образом, расстояние $d_{AB} = 6$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $6 \text{ см} > 5 \text{ см}$. Так как $d_{AB} > r$, прямая AB не пересекает окружность.
Ответ: прямая AB не является секущей.

BC

В квадрате OABC сторона BC параллельна стороне OA. Расстояние от центра O (который лежит на прямой, содержащей OA) до прямой BC равно длине перпендикулярной стороны OC. Длина стороны квадрата равна 6 см, поэтому $OC = 6$ см. Таким образом, расстояние $d_{BC} = 6$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $6 \text{ см} > 5 \text{ см}$. Так как $d_{BC} > r$, прямая BC не пересекает окружность.
Ответ: прямая BC не является секущей.

AC

Прямая AC содержит диагональ квадрата. Для нахождения расстояния от центра O до прямой AC, рассмотрим прямоугольный треугольник OAC, где катеты $OA = 6$ см и $OC = 6$ см. Расстояние от вершины прямого угла O до гипотенузы AC является высотой $h$, проведенной к гипотенузе. Длину этой высоты можно найти, используя формулу для расстояния от точки $O(0,0)$ до прямой, проходящей через точки $A(6,0)$ и $C(0,6)$. Уравнение этой прямой: $x + y - 6 = 0$. Расстояние вычисляется по формуле: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ Подставляя значения ($x_0=0, y_0=0, A=1, B=1, C=-6$), получаем: $d_{AC} = \frac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-6|}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \text{ см}$. Теперь сравним $3\sqrt{2}$ с радиусом $r=5$. Для этого сравним их квадраты: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. $5^2 = 25$. Поскольку $18 < 25$, то $3\sqrt{2} < 5$. Так как $d_{AC} < r$, прямая AC пересекает окружность в двух точках и является секущей.
Ответ: прямая AC является секущей.