Номер 736, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 736, страница 188.

736 Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Пусть нам дан отрезок $a$ — сторона искомого треугольника, и отрезки $m_b$ и $m_c$ — медианы, проведенные к двум другим сторонам.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC = a$. $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно, так что $BB_1 = m_b$ и $CC_1 = m_c$. Медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$ (центроид) и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, для точки пересечения $O$ медиан $BB_1$ и $CC_1$ справедливы следующие соотношения:

$BO = \frac{2}{3}BB_1 = \frac{2}{3}m_b$

$CO = \frac{2}{3}CC_1 = \frac{2}{3}m_c$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Мы знаем длины всех его трех сторон: $BC = a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$, $CO = \frac{2}{3}m_c$. Этот треугольник мы можем построить по трем сторонам.

После построения треугольника $BOC$ мы можем найти положение вершины $A$. Вершина $A$ лежит на пересечении двух прямых: прямой, проходящей через точки $B$ и $C_1$, и прямой, проходящей через точки $C$ и $B_1$. Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$ соответственно, причем $OB_1 = \frac{1}{2}BO$ и $OC_1 = \frac{1}{2}CO$.

Построение

1. Построим отрезки длиной $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$. Для этого разделим данные отрезки $m_b$ и $m_c$ на три равные части (с помощью теоремы Фалеса) и возьмем две из этих частей.
2. Построим треугольник $BOC$ по трем сторонам: $BC = a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Это можно сделать, отложив отрезок $BC$, а затем найдя точку $O$ как пересечение двух окружностей: одной с центром в точке $B$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$, и другой с центром в точке $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$.
3. На луче $BO$ отложим за точкой $O$ отрезок $OB_1$, равный $\frac{1}{2}BO$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку $BO$ или просто отложив циркулем отрезок, равный половине $BO$ (который можно найти делением отрезка $BO$ пополам).
4. Аналогично, на луче $CO$ отложим за точкой $O$ отрезок $OC_1$, равный $\frac{1}{2}CO$.
5. Проведем прямую через точки $B$ и $C_1$.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $B_1$.
7. Точка пересечения этих двух прямых будет искомой вершиной $A$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$. Рассмотрим отрезки $BB_1$ и $CC_1$. По построению точка $O$ лежит на обоих отрезках. Также по построению $OB_1 = \frac{1}{2}BO$, следовательно, $BO = 2 \cdot OB_1$. Это означает, что $O$ делит отрезок $BB_1$ в отношении $2:1$. Аналогично, $CO = 2 \cdot OC_1$, и $O$ делит отрезок $CC_1$ в отношении $2:1$.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BB_1$ и $CC_1$ являются чевианами, пересекающимися в точке $O$. Поскольку они делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины, они являются медианами. Следовательно, $B_1$ — середина стороны $AC$, а $C_1$ — середина стороны $AB$.

Теперь найдем длины этих медиан.$BB_1 = BO + OB_1 = BO + \frac{1}{2}BO = \frac{3}{2}BO = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.$CC_1 = CO + OC_1 = CO + \frac{1}{2}CO = \frac{3}{2}CO = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданную сторону $a$ и медианы $m_b$ и $m_c$, проведенные к двум другим сторонам. Что и требовалось доказать.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда возможно построить треугольник $BOC$. Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма длин любых двух его сторон была больше третьей стороны. Для сторон $a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$ должны выполняться неравенства треугольника:

$a < \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c$

$\frac{2}{3}m_b < a + \frac{2}{3}m_c$

$\frac{2}{3}m_c < a + \frac{2}{3}m_b$

Преобразуем эти неравенства:

$3a < 2(m_b + m_c)$

$2m_b < 3a + 2m_c \implies 2(m_b - m_c) < 3a$

$2m_c < 3a + 2m_b \implies 2(m_c - m_b) < 3a$

Последние два неравенства можно объединить в одно: $2|m_b - m_c| < 3a$.Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если выполняется условие: $2|m_b - m_c| < 3a < 2(m_b + m_c)$. Если это условие не выполняется, решения не существует.

Ответ: Построение треугольника основано на построении вспомогательного треугольника $BOC$ со сторонами $a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$, где $O$ — точка пересечения медиан. Из вершин $B$ и $C$ и точки $O$ можно однозначно восстановить искомую вершину $A$. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда для заданных длин выполняется неравенство $2|m_b - m_c| < 3a < 2(m_b + m_c)$.