Номер 732, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 732, страница 188.

732* Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, если ABA₁B₁ = ACA₁C₁ = ADA₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия, который гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Из условия задачи нам дано, что стороны $AB$, $AC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам $A_1B_1$, $A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$ Угол, заключенный между сторонами $AB$ и $AC$, — это $\angle BAC$. Угол, заключенный между сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$, — это $\angle B_1A_1C_1$. Нам необходимо доказать, что $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Для этого воспользуемся данной в условии пропорциональностью биссектрис $AD$ и $A_1D_1$ и формулой для длины биссектрисы угла треугольника. Длина биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $a$, может быть вычислена по формуле, связывающей ее с прилежащими сторонами $b, c$ и углом $A$: $$ l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos\left(\frac{A}{2}\right) $$

Применим эту формулу к нашим треугольникам:

• Для треугольника $ABC$: $AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right)$
• Для треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1D_1 = \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)$

Из условия задачи мы имеем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AD}{A_1D_1} = k $$ где $k$ — коэффициент подобия. Отсюда следует: $$ AB = k \cdot A_1B_1, \quad AC = k \cdot A_1C_1, \quad AD = k \cdot A_1D_1 $$

Подставим эти выражения в формулу для биссектрисы $AD$: $$ k \cdot A_1D_1 = \frac{2 \cdot (k \cdot A_1B_1) \cdot (k \cdot A_1C_1)}{k \cdot A_1B_1 + k \cdot A_1C_1} \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$ $$ k \cdot A_1D_1 = \frac{2k^2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{k(A_1B_1 + A_1C_1)} \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$ Сократив $k$ в числителе и знаменателе дроби, получим: $$ k \cdot A_1D_1 = k \cdot \left(\frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1}\right) \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$

Заметим, что выражение в скобках связано с длиной биссектрисы $A_1D_1$. Из формулы для $A_1D_1$ выразим это выражение: $$ \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} = \frac{A_1D_1}{\cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)} $$

Подставим это в наше уравнение для $k \cdot A_1D_1$: $$ k \cdot A_1D_1 = k \cdot \left(\frac{A_1D_1}{\cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)}\right) \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$ Поскольку треугольники невырожденные, $k \neq 0$ и $A_1D_1 \neq 0$. Сократим обе части равенства на $k \cdot A_1D_1$: $$ 1 = \frac{\cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)} $$ Отсюда следует, что: $$ \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) = \cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right) $$

Углы $\frac{\angle BAC}{2}$ и $\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}$ — это половины углов треугольников, поэтому они находятся в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. На этом интервале функция косинуса является взаимно однозначной (монотонно убывает). Следовательно, из равенства косинусов следует равенство самих углов: $$ \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\angle B_1A_1C_1}{2} $$ $$ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $$

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ две стороны пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$) и углы между ними равны ($\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$). Следовательно, по второму признаку подобия, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Ответ: Что и требовалось доказать.