Номер 734, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 734, страница 188.

734 Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна abc.

Для построения отрезка, длина $x$ которого равна $\frac{ab}{c}$, необходимо использовать метод, основанный на теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), которая вытекает из подобия треугольников. Искомое равенство можно представить в виде пропорции: $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$.

Построение

1. Начертим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его стороны как лучи.
2. На одном из лучей отложим от вершины $O$ отрезок $OC$ длиной $c$.
3. На том же луче отложим от вершины $O$ отрезок $OB$ длиной $b$. Положение точки $B$ относительно точки $C$ на луче не имеет значения для итогового результата.
4. На другом луче отложим от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $a$.
5. Соединим точки $C$ и $A$ отрезком.
6. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную прямой $CA$. Точку пересечения этой прямой со вторым лучом угла обозначим как $X$.
7. Отрезок $OX$ является искомым отрезком.

Доказательство

Рассмотрим треугольники $\triangle OBX$ и $\triangle OCA$.

Угол $\angle XOB$ (он же $\angle AOC$) является общим для обоих треугольников. По построению прямая $BX$ параллельна прямой $CA$. Следовательно, углы $\angle OBX$ и $\angle OCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BX$, $CA$ и секущей, проходящей через точки $O, C, B$.

Таким образом, треугольник $\triangle OBX$ подобен треугольнику $\triangle OCA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{OX}{OA} = \frac{OB}{OC}$

Пусть длина построенного отрезка $OX$ равна $x$. Подставив длины отрезков в полученную пропорцию, имеем:

$\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$

Выразив $x$ из этой пропорции, получим: $x = \frac{ab}{c}$.

Это доказывает, что построенный отрезок $OX$ имеет требуемую длину.

Ответ: Отрезок $OX$, построенный описанным выше способом, является искомым отрезком, длина которого равна $\frac{ab}{c}$.