Номер 730, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Дополнительные задачи - номер 730, страница 188.

Условие.

730 Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 9.

Решение 11.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведём в нём три медианы: $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $O$, которая называется центроидом треугольника. Эти медианы разбивают $\triangle ABC$ на шесть меньших треугольников: $\triangle AOC_1$, $\triangle BOC_1$, $\triangle BOA_1$, $\triangle COA_1$, $\triangle COB_1$ и $\triangle AOB_1$. Требуется доказать, что площади этих шести треугольников попарно равны.

Доказательство можно провести в два этапа.

Этап 1: Доказательство попарного равенства.

Воспользуемся свойством, что медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями (равновеликих), так как у них равные основания и общая высота.

• В треугольнике $AOB$ отрезок $OC_1$ является медианой, так как $C_1$ — середина стороны $AB$. Следовательно, площади треугольников $AOC_1$ и $BOC_1$ равны: $S_{\triangle AOC_1} = S_{\triangle BOC_1}$. Обозначим эту площадь как $S_1$.
• Аналогично, в треугольнике $BOC$ отрезок $OA_1$ является медианой ($A_1$ — середина $BC$), поэтому $S_{\triangle BOA_1} = S_{\triangle COA_1}$. Обозначим эту площадь как $S_2$.
• В треугольнике $COA$ отрезок $OB_1$ является медианой ($B_1$ — середина $AC$), поэтому $S_{\triangle COB_1} = S_{\triangle AOB_1}$. Обозначим эту площадь как $S_3$.

Таким образом, мы уже показали, что площади шести треугольников попарно равны: две площади равны $S_1$, две равны $S_2$ и две равны $S_3$. Это доказывает утверждение задачи. Однако можно доказать более сильное утверждение, что все шесть площадей равны между собой.

Этап 2: Доказательство равенства всех шести площадей.

Для этого воспользуемся свойством точки пересечения медиан: центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, для медианы $AA_1$ выполняется равенство $AO = 2 \cdot OA_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB$. У них общая высота, проведённая из вершины $B$ к прямой $AA_1$. Основания этих треугольников, $AO$ и $OA_1$, лежат на этой прямой, и их длины соотносятся как $2:1$. Площади треугольников с общей высотой относятся так же, как их основания, следовательно, $S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle A_1OB}$.

Из обозначений первого этапа мы знаем, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC_1} + S_{\triangle BOC_1} = S_1 + S_1 = 2S_1$. Также мы знаем, что $S_{\triangle A_1OB} = S_{\triangle BOA_1} = S_2$. Подставим эти значения в полученное равенство:

$2S_1 = 2 \cdot S_2$, откуда следует, что $S_1 = S_2$.

Проводя полностью аналогичные рассуждения для медианы $BB_1$, мы можем сравнить площади треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle C_1OC$. Они имеют общую высоту из вершины $C$ к прямой $CC_1$, а их основания $AO$ и $OC_1$ не лежат на одной прямой. Правильнее будет сравнить треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle B_1OC$. У них общая высота из вершины $C$ к прямой $BB_1$, а основания относятся как $BO : OB_1 = 2:1$.

$S_{\triangle BOC} = 2 \cdot S_{\triangle B_1OC}$

Подставляя площади из наших обозначений, получаем: $S_{\triangle BOC} = S_{\triangle BOA_1} + S_{\triangle COA_1} = S_2 + S_2 = 2S_2$, а $S_{\triangle B_1OC} = S_{\triangle COB_1} = S_3$. Тогда равенство принимает вид:

$2S_2 = 2 \cdot S_3$, откуда следует, что $S_2 = S_3$.

Собирая все полученные результаты вместе, мы имеем $S_1 = S_2 = S_3$. Это означает, что все шесть малых треугольников, на которые медианы разбивают исходный треугольник, имеют одинаковую площадь.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых не просто попарно равны, а равны между собой. Площадь каждого из этих шести треугольников равна $1/6$ от площади исходного треугольника.