Номер 730, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 730, страница 188.

730 Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведём в нём три медианы: $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $O$, которая называется центроидом треугольника. Эти медианы разбивают $\triangle ABC$ на шесть меньших треугольников: $\triangle AOC_1$, $\triangle BOC_1$, $\triangle BOA_1$, $\triangle COA_1$, $\triangle COB_1$ и $\triangle AOB_1$. Требуется доказать, что площади этих шести треугольников попарно равны.

Доказательство можно провести в два этапа.

Этап 1: Доказательство попарного равенства.

Воспользуемся свойством, что медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями (равновеликих), так как у них равные основания и общая высота.

• В треугольнике $AOB$ отрезок $OC_1$ является медианой, так как $C_1$ — середина стороны $AB$. Следовательно, площади треугольников $AOC_1$ и $BOC_1$ равны: $S_{\triangle AOC_1} = S_{\triangle BOC_1}$. Обозначим эту площадь как $S_1$.
• Аналогично, в треугольнике $BOC$ отрезок $OA_1$ является медианой ($A_1$ — середина $BC$), поэтому $S_{\triangle BOA_1} = S_{\triangle COA_1}$. Обозначим эту площадь как $S_2$.
• В треугольнике $COA$ отрезок $OB_1$ является медианой ($B_1$ — середина $AC$), поэтому $S_{\triangle COB_1} = S_{\triangle AOB_1}$. Обозначим эту площадь как $S_3$.

Таким образом, мы уже показали, что площади шести треугольников попарно равны: две площади равны $S_1$, две равны $S_2$ и две равны $S_3$. Это доказывает утверждение задачи. Однако можно доказать более сильное утверждение, что все шесть площадей равны между собой.

Этап 2: Доказательство равенства всех шести площадей.

Для этого воспользуемся свойством точки пересечения медиан: центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, для медианы $AA_1$ выполняется равенство $AO = 2 \cdot OA_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB$. У них общая высота, проведённая из вершины $B$ к прямой $AA_1$. Основания этих треугольников, $AO$ и $OA_1$, лежат на этой прямой, и их длины соотносятся как $2:1$. Площади треугольников с общей высотой относятся так же, как их основания, следовательно, $S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle A_1OB}$.

Из обозначений первого этапа мы знаем, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC_1} + S_{\triangle BOC_1} = S_1 + S_1 = 2S_1$. Также мы знаем, что $S_{\triangle A_1OB} = S_{\triangle BOA_1} = S_2$. Подставим эти значения в полученное равенство:

$2S_1 = 2 \cdot S_2$, откуда следует, что $S_1 = S_2$.

Проводя полностью аналогичные рассуждения для медианы $BB_1$, мы можем сравнить площади треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle C_1OC$. Они имеют общую высоту из вершины $C$ к прямой $CC_1$, а их основания $AO$ и $OC_1$ не лежат на одной прямой. Правильнее будет сравнить треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle B_1OC$. У них общая высота из вершины $C$ к прямой $BB_1$, а основания относятся как $BO : OB_1 = 2:1$.

$S_{\triangle BOC} = 2 \cdot S_{\triangle B_1OC}$

Подставляя площади из наших обозначений, получаем: $S_{\triangle BOC} = S_{\triangle BOA_1} + S_{\triangle COA_1} = S_2 + S_2 = 2S_2$, а $S_{\triangle B_1OC} = S_{\triangle COB_1} = S_3$. Тогда равенство принимает вид:

$2S_2 = 2 \cdot S_3$, откуда следует, что $S_2 = S_3$.

Собирая все полученные результаты вместе, мы имеем $S_1 = S_2 = S_3$. Это означает, что все шесть малых треугольников, на которые медианы разбивают исходный треугольник, имеют одинаковую площадь.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых не просто попарно равны, а равны между собой. Площадь каждого из этих шести треугольников равна $1/6$ от площади исходного треугольника.