Номер 728, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 728, страница 188.

728 На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так, что AK = 14KD. Диагональ АС и отрезок ВK пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРK равна 1 см².

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Точка $K$ лежит на стороне $AD$. По условию, $AK = \frac{1}{4}KD$.

Найдем соотношение между отрезком $AK$ и всей стороной $AD$. Пусть $AK = x$, тогда $KD = 4x$.Сторона $AD$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KD$:$AD = AK + KD = x + 4x = 5x$.Таким образом, $AK = \frac{1}{5}AD$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD$. Следовательно, $AK = \frac{1}{5}BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APK$ и $\triangle CPB$.Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Поскольку точка $K$ лежит на $AD$, то $AK \parallel BC$.

1. $\angle KAP = \angle BCP$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
2. $\angle AKB = \angle CBK$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BK$.

Следовательно, $\triangle APK$ подобен $\triangle CPB$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон:$k = \frac{AK}{CB} = \frac{\frac{1}{5}BC}{BC} = \frac{1}{5}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{APK}}{S_{CPB}} = k^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

По условию, площадь треугольника $APK$ равна 1 см?, то есть $S_{APK} = 1 \text{ см}^2$.Найдем площадь треугольника $CPB$:$S_{CPB} = 25 \cdot S_{APK} = 25 \cdot 1 = 25 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CPB$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $AP$ и $PC$:$\frac{S_{ABP}}{S_{CPB}} = \frac{AP}{PC}$.

Из подобия треугольников $\triangle APK$ и $\triangle CPB$ следует, что $\frac{AP}{PC} = k = \frac{1}{5}$.Тогда:$\frac{S_{ABP}}{25} = \frac{1}{5} \Rightarrow S_{ABP} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABP$ и $CPB$:$S_{ABC} = S_{ABP} + S_{CPB} = 5 + 25 = 30 \text{ см}^2$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.Следовательно, площадь параллелограмма $ABCD$ вдвое больше площади треугольника $ABC$:$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 30 = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: $60 \text{ см}^2$.