Номер 729, страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 729, страница 188.

729 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, ВС = 4 см, АD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.

Для решения задачи проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является прямоугольной ($\angle A = \angle B = 90^\circ$) и ее основания $BC$ и $AD$ параллельны, то четырехугольник $ABCH$ — это прямоугольник. Следовательно, противолежащие стороны в нем равны:

$AH = BC = 4$ см.

Зная длину всего основания $AD$, мы можем найти длину отрезка $HD$:

$HD = AD - AH = 16 - 4 = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи, угол $\angle ACD = 90^\circ$. Это значит, что треугольник $ACD$ — прямоугольный, а $AD$ — его гипотенуза. Отрезок $CH$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AD$.

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

$CH^2 = AH \cdot HD$

Подставим известные значения в эту формулу:

$CH^2 = 4 \cdot 12 = 48$

$CH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). Зная длины катетов $CH$ и $HD$, мы можем определить угол $D$ трапеции. Используем для этого тангенс угла $D$:

$\tan(\angle D) = \frac{CH}{HD} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, — это $30^\circ$. Таким образом, мы нашли угол $D$:

$\angle D = 30^\circ$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $CD$ это свойство записывается как:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Теперь мы можем найти величину угла $C$ (полное название угла — $\angle BCD$):

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $\angle C = 150^\circ$, $\angle D = 30^\circ$.