Страница 188 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

726 В треугольнике ABC (AB ≠ АС) через середину стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые AB и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.

Доказательство.

Для доказательства утверждения можно использовать разные подходы. Рассмотрим два из них.

Способ 1. С дополнительным построением.

1. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$. По определению биссектрисы, $\angle BAL = \angle CAL$. Обозначим величину этих равных углов за $\alpha$.

2. По условию задачи, через середину $M$ стороны $BC$ проведена прямая $DE$ (где $D$ лежит на прямой $AB$, а $E$ — на прямой $AC$), параллельная биссектрисе $AL$.

3. Рассмотрим треугольник $ADE$. Поскольку $DE \parallel AL$, то при секущей $AB$ имеем $\angle ADE = \angle BAL = \alpha$ (как соответственные углы), а при секущей $AC$ имеем $\angle AED = \angle CAL = \alpha$ (также как соответственные углы). Так как в треугольнике $ADE$ два угла равны ($\angle ADE = \angle AED$), то он является равнобедренным с основанием $DE$. Следовательно, стороны, лежащие против этих углов, равны: $AD = AE$.

4. Проведем через вершину $C$ прямую, параллельную стороне $AB$, до ее пересечения с прямой $DE$ в точке $F$. Таким образом, по построению $CF \parallel AB$.

5. Рассмотрим треугольники $BDM$ и $CFM$. В них: $BM = CM$ (так как $M$ — середина $BC$ по условию), $\angle DMB = \angle FMC$ (как вертикальные углы), и $\angle MBD = \angle MCF$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CF$ и секущей $BC$). Следовательно, $\triangle BDM \cong \triangle CFM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $BD = CF$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $CFE$. Угол $\angle CEF$ совпадает с углом $\angle AED$ (или является вертикальным к нему), который, как мы показали в пункте 3, равен $\alpha$. Найдем угол $\angle CFE$. Так как по построению $CF \parallel AB$, то $CF \parallel AD$. Прямая $DE$ является секущей для этих параллельных прямых, поэтому $\angle CFE = \angle ADE$ (как накрест лежащие углы). Угол $\angle ADE$ также равен $\alpha$. Таким образом, в треугольнике $CFE$ два угла равны: $\angle CEF = \angle CFE = \alpha$. Это означает, что треугольник $CFE$ — равнобедренный, и $CE = CF$.

7. Сопоставляя результаты, полученные в пунктах 5 и 6, имеем: $BD = CF$ и $CE = CF$. Отсюда следует, что $BD = CE$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Способ 2. С использованием теоремы Менелая.

1. Аналогично первому способу, докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным. Пусть $AL$ — биссектриса $\angle A$, тогда $\angle BAL = \angle CAL = \alpha$. Так как прямая $DE \parallel AL$, то, рассматривая секущие $AB$ и $AC$, получаем $\angle ADE = \angle BAL = \alpha$ и $\angle AED = \angle CAL = \alpha$ (как соответственные углы). Из равенства углов $\angle ADE = \angle AED$ следует, что треугольник $ADE$ равнобедренный, и $AD = AE$.

2. Рассмотрим треугольник $ABC$ и прямую $DME$ как секущую. Точки $D$, $M$, $E$ лежат на прямых, содержащих стороны треугольника ($AB$, $BC$, $AC$ соответственно). По теореме Менелая:$$ \frac{AD}{DB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$

3. По условию задачи, точка $M$ — середина стороны $BC$, поэтому $BM = MC$, и их отношение $\frac{BM}{MC} = 1$.

4. Подставим это значение в формулу Менелая:$$ \frac{AD}{DB} \cdot 1 \cdot \frac{CE}{EA} = 1 $$Это равенство можно переписать в виде:$$ \frac{AD}{DB} = \frac{EA}{CE} \implies AD \cdot CE = DB \cdot EA $$

5. В пункте 1 мы установили, что $AD = AE$. Заменим $EA$ на $AD$ в полученном равенстве:$$ AD \cdot CE = DB \cdot AD $$

6. Поскольку по условию $AB \neq AC$, треугольник $ABC$ не является равнобедренным, и его биссектриса $AL$ не является медианой. Следовательно, точка $M$ не лежит на $AL$. Так как прямая $DE$ проходит через $M$ и параллельна $AL$, она не может проходить через вершину $A$. Это означает, что точка $D$ не совпадает с $A$, и длина отрезка $AD \neq 0$. Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $AD$.

7. В результате деления получаем: $CE = DB$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

727 В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, ∠ACB = α. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и высотой $h$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$

Согласно условию задачи, сумма оснований $AD + BC = b$. Подставив это значение в формулу, получаем:

$S = \frac{b}{2} \cdot h$

Чтобы найти площадь, нам необходимо определить высоту трапеции $h$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Таким образом, $h = CH$.

В трапеции основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle CAD = \angle ACB$.

По условию $\angle ACB = \alpha$, поэтому $\angle CAD = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AHC$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $AC = a$ (по условию);
• угол $\angle CAH = \angle CAD = \alpha$;
• катет $CH$ является высотой трапеции $h$.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle CAH) = \frac{CH}{AC}$

Отсюда мы можем выразить высоту $h$:

$h = CH = AC \cdot \sin(\angle CAH) = a \cdot \sin(\alpha)$

Наконец, подставляем найденное выражение для высоты $h$ в формулу площади трапеции:

$S = \frac{b}{2} \cdot h = \frac{b}{2} \cdot (a \sin(\alpha)) = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)$

Ответ: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\alpha)$.

728 На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так, что AK = 14KD. Диагональ АС и отрезок ВK пересекаются в точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника АРK равна 1 см².

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Точка $K$ лежит на стороне $AD$. По условию, $AK = \frac{1}{4}KD$.

Найдем соотношение между отрезком $AK$ и всей стороной $AD$. Пусть $AK = x$, тогда $KD = 4x$.Сторона $AD$ равна сумме длин отрезков $AK$ и $KD$:$AD = AK + KD = x + 4x = 5x$.Таким образом, $AK = \frac{1}{5}AD$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BC = AD$. Следовательно, $AK = \frac{1}{5}BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APK$ и $\triangle CPB$.Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Поскольку точка $K$ лежит на $AD$, то $AK \parallel BC$.

1. $\angle KAP = \angle BCP$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$.
2. $\angle AKB = \angle CBK$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $BK$.

Следовательно, $\triangle APK$ подобен $\triangle CPB$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению их соответственных сторон:$k = \frac{AK}{CB} = \frac{\frac{1}{5}BC}{BC} = \frac{1}{5}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_{APK}}{S_{CPB}} = k^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

По условию, площадь треугольника $APK$ равна 1 см?, то есть $S_{APK} = 1 \text{ см}^2$.Найдем площадь треугольника $CPB$:$S_{CPB} = 25 \cdot S_{APK} = 25 \cdot 1 = 25 \text{ см}^2$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABP$ и $\triangle CPB$. Они имеют общую высоту, проведенную из вершины $B$ к прямой $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований $AP$ и $PC$:$\frac{S_{ABP}}{S_{CPB}} = \frac{AP}{PC}$.

Из подобия треугольников $\triangle APK$ и $\triangle CPB$ следует, что $\frac{AP}{PC} = k = \frac{1}{5}$.Тогда:$\frac{S_{ABP}}{25} = \frac{1}{5} \Rightarrow S_{ABP} = \frac{1}{5} \cdot 25 = 5 \text{ см}^2$.

Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABP$ и $CPB$:$S_{ABC} = S_{ABP} + S_{CPB} = 5 + 25 = 30 \text{ см}^2$.

Диагональ $AC$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равновеликих треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.Следовательно, площадь параллелограмма $ABCD$ вдвое больше площади треугольника $ABC$:$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot 30 = 60 \text{ см}^2$.

Ответ: $60 \text{ см}^2$.

729 В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС ∠A = ∠B = 90°, ∠ACD = 90°, ВС = 4 см, АD = 16 см. Найдите углы С и D трапеции.

Для решения задачи проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на большее основание $AD$.

Поскольку трапеция $ABCD$ является прямоугольной ($\angle A = \angle B = 90^\circ$) и ее основания $BC$ и $AD$ параллельны, то четырехугольник $ABCH$ — это прямоугольник. Следовательно, противолежащие стороны в нем равны:

$AH = BC = 4$ см.

Зная длину всего основания $AD$, мы можем найти длину отрезка $HD$:

$HD = AD - AH = 16 - 4 = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $ACD$. По условию задачи, угол $\angle ACD = 90^\circ$. Это значит, что треугольник $ACD$ — прямоугольный, а $AD$ — его гипотенуза. Отрезок $CH$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AD$.

Воспользуемся метрическим соотношением в прямоугольном треугольнике: квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу.

$CH^2 = AH \cdot HD$

Подставим известные значения в эту формулу:

$CH^2 = 4 \cdot 12 = 48$

$CH = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$ ($\angle CHD = 90^\circ$). Зная длины катетов $CH$ и $HD$, мы можем определить угол $D$ трапеции. Используем для этого тангенс угла $D$:

$\tan(\angle D) = \frac{CH}{HD} = \frac{4\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, — это $30^\circ$. Таким образом, мы нашли угол $D$:

$\angle D = 30^\circ$.

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Для боковой стороны $CD$ это свойство записывается как:

$\angle C + \angle D = 180^\circ$

Теперь мы можем найти величину угла $C$ (полное название угла — $\angle BCD$):

$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $\angle C = 150^\circ$, $\angle D = 30^\circ$.

730 Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведём в нём три медианы: $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, где $A_1$, $B_1$, $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Медианы пересекаются в одной точке $O$, которая называется центроидом треугольника. Эти медианы разбивают $\triangle ABC$ на шесть меньших треугольников: $\triangle AOC_1$, $\triangle BOC_1$, $\triangle BOA_1$, $\triangle COA_1$, $\triangle COB_1$ и $\triangle AOB_1$. Требуется доказать, что площади этих шести треугольников попарно равны.

Доказательство можно провести в два этапа.

Этап 1: Доказательство попарного равенства.

Воспользуемся свойством, что медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями (равновеликих), так как у них равные основания и общая высота.

• В треугольнике $AOB$ отрезок $OC_1$ является медианой, так как $C_1$ — середина стороны $AB$. Следовательно, площади треугольников $AOC_1$ и $BOC_1$ равны: $S_{\triangle AOC_1} = S_{\triangle BOC_1}$. Обозначим эту площадь как $S_1$.
• Аналогично, в треугольнике $BOC$ отрезок $OA_1$ является медианой ($A_1$ — середина $BC$), поэтому $S_{\triangle BOA_1} = S_{\triangle COA_1}$. Обозначим эту площадь как $S_2$.
• В треугольнике $COA$ отрезок $OB_1$ является медианой ($B_1$ — середина $AC$), поэтому $S_{\triangle COB_1} = S_{\triangle AOB_1}$. Обозначим эту площадь как $S_3$.

Таким образом, мы уже показали, что площади шести треугольников попарно равны: две площади равны $S_1$, две равны $S_2$ и две равны $S_3$. Это доказывает утверждение задачи. Однако можно доказать более сильное утверждение, что все шесть площадей равны между собой.

Этап 2: Доказательство равенства всех шести площадей.

Для этого воспользуемся свойством точки пересечения медиан: центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, для медианы $AA_1$ выполняется равенство $AO = 2 \cdot OA_1$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB$. У них общая высота, проведённая из вершины $B$ к прямой $AA_1$. Основания этих треугольников, $AO$ и $OA_1$, лежат на этой прямой, и их длины соотносятся как $2:1$. Площади треугольников с общей высотой относятся так же, как их основания, следовательно, $S_{\triangle AOB} = 2 \cdot S_{\triangle A_1OB}$.

Из обозначений первого этапа мы знаем, что $S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC_1} + S_{\triangle BOC_1} = S_1 + S_1 = 2S_1$. Также мы знаем, что $S_{\triangle A_1OB} = S_{\triangle BOA_1} = S_2$. Подставим эти значения в полученное равенство:

$2S_1 = 2 \cdot S_2$, откуда следует, что $S_1 = S_2$.

Проводя полностью аналогичные рассуждения для медианы $BB_1$, мы можем сравнить площади треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle C_1OC$. Они имеют общую высоту из вершины $C$ к прямой $CC_1$, а их основания $AO$ и $OC_1$ не лежат на одной прямой. Правильнее будет сравнить треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle B_1OC$. У них общая высота из вершины $C$ к прямой $BB_1$, а основания относятся как $BO : OB_1 = 2:1$.

$S_{\triangle BOC} = 2 \cdot S_{\triangle B_1OC}$

Подставляя площади из наших обозначений, получаем: $S_{\triangle BOC} = S_{\triangle BOA_1} + S_{\triangle COA_1} = S_2 + S_2 = 2S_2$, а $S_{\triangle B_1OC} = S_{\triangle COB_1} = S_3$. Тогда равенство принимает вид:

$2S_2 = 2 \cdot S_3$, откуда следует, что $S_2 = S_3$.

Собирая все полученные результаты вместе, мы имеем $S_1 = S_2 = S_3$. Это означает, что все шесть малых треугольников, на которые медианы разбивают исходный треугольник, имеют одинаковую площадь.

Ответ: Утверждение доказано. Медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых не просто попарно равны, а равны между собой. Площадь каждого из этих шести треугольников равна $1/6$ от площади исходного треугольника.

731 Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз больше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точке М, площадь треугольника АМН равна 4 см². Найдите площадь трапеции ABCD.

Пусть длина меньшего основания трапеции $BC$ равна $x$. По условию, большее основание $AD$ в 5 раз больше, следовательно, $AD = 5x$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобедренная, мы можем провести вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от вершин большего основания, равны, то есть $AH = KD$. Четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как его противоположные стороны параллельны ($BC || HK$) и углы при основании $AD$ прямые. Отсюда следует, что $HK = BC = x$.

Длина большего основания $AD$ складывается из длин трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Заменив $KD$ на $AH$ и подставив известные значения, получим:$5x = AH + x + AH = 2 \cdot AH + x$$4x = 2 \cdot AH$$AH = 2x$

Рассмотрим треугольник $AMH$. Так как $BH$ является высотой трапеции, проведенной к основанию $AD$, угол $\angle MHA$ прямой и равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $AMH$ — прямоугольный. Его площадь вычисляется как половина произведения катетов:$S_{AMH} = \frac{1}{2} \cdot AH \cdot MH$Подставим известные значения: $S_{AMH} = 4$ см$^2$ и $AH = 2x$:$4 = \frac{1}{2} \cdot (2x) \cdot MH$$4 = x \cdot MH$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ACK$ (где $CK$ — высота, $\angle CKA = 90^\circ$). Поскольку высоты $BH$ и $CK$ обе перпендикулярны $AD$, они параллельны друг другу ($BH || CK$). Отрезок $HM$ является частью прямой $BH$, следовательно, $HM || CK$. Так как отрезок $HM$ соединяет стороны $AC$ и $AK$ треугольника $ACK$ и параллелен его третьей стороне $CK$, то треугольник $AHM$ подобен треугольнику $ACK$ ($\triangle AHM \sim \triangle ACK$).

Из подобия треугольников следует отношение пропорциональности их сторон:$\frac{MH}{CK} = \frac{AH}{AK}$Высота $CK$ равна высоте $BH$. Обозначим высоту трапеции как $h$, то есть $CK = BH = h$. Длина отрезка $AK = AH + HK = 2x + x = 3x$. Подставим эти выражения в пропорцию:$\frac{MH}{h} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$Отсюда $MH = \frac{2}{3}h$.

Теперь мы можем объединить результаты. Из предыдущих шагов мы знаем, что $x \cdot MH = 4$. Подставим сюда выражение для $MH$:$x \cdot \left(\frac{2}{3}h\right) = 4$$\frac{2}{3}xh = 4$$xh = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Площадь трапеции $ABCD$ находится по формуле:$S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH$Подставим наши обозначения $AD=5x$, $BC=x$ и $BH=h$:$S_{ABCD} = \frac{5x + x}{2} \cdot h = \frac{6x}{2} \cdot h = 3xh$Используя найденное значение $xh=6$, получаем:$S_{ABCD} = 3 \cdot 6 = 18$

Ответ: $18$ см$^2$.

732* Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, если ABA₁B₁ = ACA₁C₁ = ADA₁D₁, где AD и A₁D₁ — биссектрисы треугольников.

Для доказательства подобия треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ воспользуемся вторым признаком подобия, который гласит: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Из условия задачи нам дано, что стороны $AB$, $AC$ треугольника $ABC$ пропорциональны сторонам $A_1B_1$, $A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$ Угол, заключенный между сторонами $AB$ и $AC$, — это $\angle BAC$. Угол, заключенный между сторонами $A_1B_1$ и $A_1C_1$, — это $\angle B_1A_1C_1$. Нам необходимо доказать, что $\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$.

Для этого воспользуемся данной в условии пропорциональностью биссектрис $AD$ и $A_1D_1$ и формулой для длины биссектрисы угла треугольника. Длина биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$ к стороне $a$, может быть вычислена по формуле, связывающей ее с прилежащими сторонами $b, c$ и углом $A$: $$ l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos\left(\frac{A}{2}\right) $$

Применим эту формулу к нашим треугольникам:

• Для треугольника $ABC$: $AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right)$
• Для треугольника $A_1B_1C_1$: $A_1D_1 = \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} \cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)$

Из условия задачи мы имеем: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{AD}{A_1D_1} = k $$ где $k$ — коэффициент подобия. Отсюда следует: $$ AB = k \cdot A_1B_1, \quad AC = k \cdot A_1C_1, \quad AD = k \cdot A_1D_1 $$

Подставим эти выражения в формулу для биссектрисы $AD$: $$ k \cdot A_1D_1 = \frac{2 \cdot (k \cdot A_1B_1) \cdot (k \cdot A_1C_1)}{k \cdot A_1B_1 + k \cdot A_1C_1} \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$ $$ k \cdot A_1D_1 = \frac{2k^2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{k(A_1B_1 + A_1C_1)} \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$ Сократив $k$ в числителе и знаменателе дроби, получим: $$ k \cdot A_1D_1 = k \cdot \left(\frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1}\right) \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$

Заметим, что выражение в скобках связано с длиной биссектрисы $A_1D_1$. Из формулы для $A_1D_1$ выразим это выражение: $$ \frac{2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1C_1}{A_1B_1 + A_1C_1} = \frac{A_1D_1}{\cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)} $$

Подставим это в наше уравнение для $k \cdot A_1D_1$: $$ k \cdot A_1D_1 = k \cdot \left(\frac{A_1D_1}{\cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)}\right) \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) $$ Поскольку треугольники невырожденные, $k \neq 0$ и $A_1D_1 \neq 0$. Сократим обе части равенства на $k \cdot A_1D_1$: $$ 1 = \frac{\cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right)} $$ Отсюда следует, что: $$ \cos\left(\frac{\angle BAC}{2}\right) = \cos\left(\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}\right) $$

Углы $\frac{\angle BAC}{2}$ и $\frac{\angle B_1A_1C_1}{2}$ — это половины углов треугольников, поэтому они находятся в интервале $(0^\circ, 90^\circ)$. На этом интервале функция косинуса является взаимно однозначной (монотонно убывает). Следовательно, из равенства косинусов следует равенство самих углов: $$ \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\angle B_1A_1C_1}{2} $$ $$ \angle BAC = \angle B_1A_1C_1 $$

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ две стороны пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$) и углы между ними равны ($\angle BAC = \angle B_1A_1C_1$). Следовательно, по второму признаку подобия, треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

733 Дан треугольник ABC. Постройте треугольник A₁B₁C₁, подобный треугольнику ABC, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника ABC.

Для решения задачи необходимо сначала определить, как связаны стороны подобных треугольников и их площади. Пусть дан треугольник $ABC$ с площадью $S$ и искомый треугольник $A_1B_1C_1$ с площадью $S_1$.

Из условия известно, что $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC$ (треугольники подобны) и $S_1 = 2S$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$: $$ \frac{S_1}{S} = k^2 $$

Подставим в формулу данные из условия задачи: $$ \frac{2S}{S} = k^2 $$ $$ k^2 = 2 $$ $$ k = \sqrt{2} $$

Таким образом, коэффициент подобия равен $\sqrt{2}$. Это означает, что каждая сторона треугольника $A_1B_1C_1$ должна быть в $\sqrt{2}$ раз длиннее соответствующей стороны треугольника $ABC$: $$ A_1B_1 = AB \cdot \sqrt{2} $$ $$ B_1C_1 = BC \cdot \sqrt{2} $$ $$ A_1C_1 = AC \cdot \sqrt{2} $$

Задача сводится к построению нового треугольника $A_1B_1C_1$ по трем сторонам, длины которых нужно предварительно построить с помощью циркуля и линейки.

Построение выполняется в два этапа: сначала строятся отрезки, равные сторонам искомого треугольника, а затем из этих отрезков строится сам треугольник.

Этап 1: Построение отрезка, длина которого в $\sqrt{2}$ раз больше данного.

Чтобы построить отрезок длиной $x\sqrt{2}$, имея отрезок длиной $x$, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Если построить прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными $x$, то его гипотенуза будет равна $\sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

1. Возьмем сторону $AB$ данного треугольника.
2. Построим прямой угол с вершиной в некоторой точке $P$.
3. На одной стороне угла отложим от точки $P$ отрезок $PQ$, равный $AB$.
4. На другой стороне угла отложим от точки $P$ отрезок $PR$, также равный $AB$.
5. Соединим точки $Q$ и $R$. Полученный отрезок $QR$ является гипотенузой прямоугольного треугольника $PQR$. Его длина равна $AB\sqrt{2}$. Это будет сторона $A_1B_1$ искомого треугольника.
6. Аналогичным образом строим отрезки для двух других сторон: $B_1C_1$ длиной $BC\sqrt{2}$ и $A_1C_1$ длиной $AC\sqrt{2}$.

Этап 2: Построение треугольника $A_1B_1C_1$ по трем сторонам.

1. Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $A_1$.
2. С помощью циркуля отложим от точки $A_1$ на прямой отрезок, равный построенной на первом этапе стороне $A_1B_1$ (длиной $AB\sqrt{2}$). Получим точку $B_1$.
3. Из центра в точке $A_1$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $A_1C_1$ (длиной $AC\sqrt{2}$).
4. Из центра в точке $B_1$ проведем дугу окружности радиусом, равным длине стороны $B_1C_1$ (длиной $BC\sqrt{2}$).
5. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $C_1$.
6. Соединим точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. По построению его стороны в $\sqrt{2}$ раз больше соответствующих сторон треугольника $ABC$, следовательно, он подобен исходному треугольнику, а его площадь в $(\sqrt{2})^2 = 2$ раза больше площади треугольника $ABC$.

Ответ: Для построения треугольника $A_1B_1C_1$, подобного $\triangle ABC$ и с площадью в 2 раза большей, необходимо построить треугольник со сторонами, длины которых в $\sqrt{2}$ раз больше длин соответствующих сторон $\triangle ABC$. Для этого для каждой стороны исходного треугольника (например, $AB$) строится прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными этой стороне. Гипотенуза такого треугольника ($AB\sqrt{2}$) будет являться соответствующей стороной нового треугольника ($A_1B_1$). Построив таким образом три новые стороны, строим по ним искомый треугольник $A_1B_1C_1$ с помощью циркуля и линейки (по трем сторонам).

734 Даны три отрезка, длины которых соответственно равны а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна abc.

Для построения отрезка, длина $x$ которого равна $\frac{ab}{c}$, необходимо использовать метод, основанный на теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), которая вытекает из подобия треугольников. Искомое равенство можно представить в виде пропорции: $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$.

1. Начертим произвольный неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Обозначим его стороны как лучи.
2. На одном из лучей отложим от вершины $O$ отрезок $OC$ длиной $c$.
3. На том же луче отложим от вершины $O$ отрезок $OB$ длиной $b$. Положение точки $B$ относительно точки $C$ на луче не имеет значения для итогового результата.
4. На другом луче отложим от вершины $O$ отрезок $OA$ длиной $a$.
5. Соединим точки $C$ и $A$ отрезком.
6. Через точку $B$ проведем прямую, параллельную прямой $CA$. Точку пересечения этой прямой со вторым лучом угла обозначим как $X$.
7. Отрезок $OX$ является искомым отрезком.

Рассмотрим треугольники $\triangle OBX$ и $\triangle OCA$.

Угол $\angle XOB$ (он же $\angle AOC$) является общим для обоих треугольников. По построению прямая $BX$ параллельна прямой $CA$. Следовательно, углы $\angle OBX$ и $\angle OCA$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BX$, $CA$ и секущей, проходящей через точки $O, C, B$.

Таким образом, треугольник $\triangle OBX$ подобен треугольнику $\triangle OCA$ по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{OX}{OA} = \frac{OB}{OC}$

Пусть длина построенного отрезка $OX$ равна $x$. Подставив длины отрезков в полученную пропорцию, имеем:

$\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$

Выразив $x$ из этой пропорции, получим: $x = \frac{ab}{c}$.

Это доказывает, что построенный отрезок $OX$ имеет требуемую длину.

Ответ: Отрезок $OX$, построенный описанным выше способом, является искомым отрезком, длина которого равна $\frac{ab}{c}$.

735 Постройте треугольник, если даны середины его сторон.

Для построения треугольника по заданным серединам его сторон, обозначим эти точки как M, N и P. Решение задачи основывается на свойстве средней линии треугольника.

Анализ и метод построения

Пусть M, N, P — середины сторон будущего треугольника $\triangle ABC$. Тогда отрезки, соединяющие эти точки (MN, NP, PM), являются средними линиями $\triangle ABC$. Основное свойство средней линии заключается в том, что она параллельна одной из сторон треугольника. Например, если P и N — середины сторон AB и AC, то средняя линия PN параллельна стороне BC.

Это свойство подсказывает алгоритм построения: каждая сторона искомого треугольника ABC будет проходить через одну из данных точек (M, N или P) и будет параллельна отрезку, соединяющему две другие данные точки.

• Сторона, содержащая вершину A, проходит через точку N и параллельна отрезку MP, а также через точку P и параллельна отрезку MN.
• Сторона, содержащая вершину B, проходит через точку P и параллельна отрезку MN, а также через точку M и параллельна отрезку NP.
• Сторона, содержащая вершину C, проходит через точку M и параллельна отрезку NP, а также через точку N и параллельна отрезку MP.

Вершины искомого треугольника A, B, C будут точками пересечения этих построенных прямых.

Пошаговое построение

1. Соедините данные точки M, N и P отрезками, чтобы получить вспомогательный треугольник $\triangle MNP$.
2. Через точку M проведите прямую, параллельную отрезку NP.
3. Через точку N проведите прямую, параллельную отрезку MP.
4. Через точку P проведите прямую, параллельную отрезку MN.
5. Точки пересечения этих трёх прямых образуют вершины искомого треугольника ABC.

Доказательство

Пусть $l_M$ — прямая, проходящая через M параллельно NP; $l_N$ — прямая, проходящая через N параллельно MP; $l_P$ — прямая, проходящая через P параллельно MN. По построению, вершины треугольника это: $A = l_N \cap l_P$, $B = l_M \cap l_P$ и $C = l_M \cap l_N$.

Рассмотрим четырехугольник ANMP. Его стороны AN и AP лежат на прямых $l_N$ и $l_P$. По определению этих прямых, $l_N \parallel MP$ и $l_P \parallel MN$. Таким образом, противолежащие стороны четырехугольника ANMP попарно параллельны ($AN \parallel MP$ и $AP \parallel NM$). Следовательно, ANMP — это параллелограмм.

Аналогично доказывается, что BPNM и CMPN — тоже параллелограммы.

Из свойств параллелограмма имеем:

• Из параллелограмма ANMP следует, что $AP = NM$.
• Из параллелограмма BPNM следует, что $PB = NM$.

Следовательно, $AP = PB$, что означает, что P — середина стороны AB.

Таким же образом, сравнивая параллелограммы ANMP и CMPN, получаем, что $AN = MP$ и $NC = MP$, откуда N - середина AC. Сравнивая BPNM и CMPN, получаем, что $BM = PN$ и $MC = PN$, откуда M - середина BC.

Таким образом, построенный $\triangle ABC$ является искомым. Задача имеет единственное решение, если данные три точки M, N, P не лежат на одной прямой.

Ответ: Для построения треугольника по трём данным серединам его сторон (M, N, P) необходимо через каждую из этих точек провести прямую, параллельную отрезку, соединяющему две другие точки. Точки пересечения этих трёх прямых являются вершинами искомого треугольника.

736 Постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

Пусть нам дан отрезок $a$ — сторона искомого треугольника, и отрезки $m_b$ и $m_c$ — медианы, проведенные к двум другим сторонам.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $BC = a$. $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, проведенные к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно, так что $BB_1 = m_b$ и $CC_1 = m_c$. Медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$ (центроид) и делятся этой точкой в отношении $2:1$, считая от вершины. Таким образом, для точки пересечения $O$ медиан $BB_1$ и $CC_1$ справедливы следующие соотношения:

$BO = \frac{2}{3}BB_1 = \frac{2}{3}m_b$

$CO = \frac{2}{3}CC_1 = \frac{2}{3}m_c$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Мы знаем длины всех его трех сторон: $BC = a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$, $CO = \frac{2}{3}m_c$. Этот треугольник мы можем построить по трем сторонам.

После построения треугольника $BOC$ мы можем найти положение вершины $A$. Вершина $A$ лежит на пересечении двух прямых: прямой, проходящей через точки $B$ и $C_1$, и прямой, проходящей через точки $C$ и $B_1$. Точки $B_1$ и $C_1$ лежат на продолжениях отрезков $BO$ и $CO$ за точку $O$ соответственно, причем $OB_1 = \frac{1}{2}BO$ и $OC_1 = \frac{1}{2}CO$.

Построение

1. Построим отрезки длиной $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$. Для этого разделим данные отрезки $m_b$ и $m_c$ на три равные части (с помощью теоремы Фалеса) и возьмем две из этих частей.
2. Построим треугольник $BOC$ по трем сторонам: $BC = a$, $BO = \frac{2}{3}m_b$ и $CO = \frac{2}{3}m_c$. Это можно сделать, отложив отрезок $BC$, а затем найдя точку $O$ как пересечение двух окружностей: одной с центром в точке $B$ и радиусом $\frac{2}{3}m_b$, и другой с центром в точке $C$ и радиусом $\frac{2}{3}m_c$.
3. На луче $BO$ отложим за точкой $O$ отрезок $OB_1$, равный $\frac{1}{2}BO$. Это можно сделать, построив серединный перпендикуляр к отрезку $BO$ или просто отложив циркулем отрезок, равный половине $BO$ (который можно найти делением отрезка $BO$ пополам).
4. Аналогично, на луче $CO$ отложим за точкой $O$ отрезок $OC_1$, равный $\frac{1}{2}CO$.
5. Проведем прямую через точки $B$ и $C_1$.
6. Проведем прямую через точки $C$ и $B_1$.
7. Точка пересечения этих двух прямых будет искомой вершиной $A$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$. Рассмотрим отрезки $BB_1$ и $CC_1$. По построению точка $O$ лежит на обоих отрезках. Также по построению $OB_1 = \frac{1}{2}BO$, следовательно, $BO = 2 \cdot OB_1$. Это означает, что $O$ делит отрезок $BB_1$ в отношении $2:1$. Аналогично, $CO = 2 \cdot OC_1$, и $O$ делит отрезок $CC_1$ в отношении $2:1$.

В треугольнике $ABC$ отрезки $BB_1$ и $CC_1$ являются чевианами, пересекающимися в точке $O$. Поскольку они делятся точкой пересечения в отношении $2:1$, считая от вершины, они являются медианами. Следовательно, $B_1$ — середина стороны $AC$, а $C_1$ — середина стороны $AB$.

Теперь найдем длины этих медиан.$BB_1 = BO + OB_1 = BO + \frac{1}{2}BO = \frac{3}{2}BO = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_b) = m_b$.$CC_1 = CO + OC_1 = CO + \frac{1}{2}CO = \frac{3}{2}CO = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = m_c$.Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданную сторону $a$ и медианы $m_b$ и $m_c$, проведенные к двум другим сторонам. Что и требовалось доказать.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда возможно построить треугольник $BOC$. Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма длин любых двух его сторон была больше третьей стороны. Для сторон $a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$ должны выполняться неравенства треугольника:

$a < \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c$

$\frac{2}{3}m_b < a + \frac{2}{3}m_c$

$\frac{2}{3}m_c < a + \frac{2}{3}m_b$

Преобразуем эти неравенства:

$3a < 2(m_b + m_c)$

$2m_b < 3a + 2m_c \implies 2(m_b - m_c) < 3a$

$2m_c < 3a + 2m_b \implies 2(m_c - m_b) < 3a$

Последние два неравенства можно объединить в одно: $2|m_b - m_c| < 3a$.Таким образом, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если выполняется условие: $2|m_b - m_c| < 3a < 2(m_b + m_c)$. Если это условие не выполняется, решения не существует.

Ответ: Построение треугольника основано на построении вспомогательного треугольника $BOC$ со сторонами $a$, $\frac{2}{3}m_b$ и $\frac{2}{3}m_c$, где $O$ — точка пересечения медиан. Из вершин $B$ и $C$ и точки $O$ можно однозначно восстановить искомую вершину $A$. Задача имеет решение тогда и только тогда, когда для заданных длин выполняется неравенство $2|m_b - m_c| < 3a < 2(m_b + m_c)$.