Страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

716 Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит сторону АС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если AB = 10 см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, образуется отсечённый треугольник $MNC$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AB$, то отсечённый треугольник $MNC$ подобен исходному треугольнику $ABC$. Подобие следует из того, что угол $C$ у них общий, а углы $\angle CMN$ и $\angle CAB$ (а также $\angle CNM$ и $\angle CBA$) равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущих $AC$ и $BC$ соответственно.

Из подобия треугольников $MNC$ и $ABC$ следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{MC}{AC} = \frac{NC}{BC} = \frac{MN}{AB} = k $$ где $k$ — коэффициент подобия.

По условию задачи, прямая $MN$ делит сторону $AC$ в отношении $2:7$, считая от вершины $A$. Это означает, что отношение отрезков $AM:MC = 2:7$. Следовательно, вся сторона $AC$ состоит из $2+7=9$ частей. Отрезок $MC$ составляет 7 из этих 9 частей от всей длины стороны $AC$.

Длина стороны $AC$ по условию равна $21,6$ см. Найдём длину стороны $MC$ отсечённого треугольника: $$ MC = \frac{7}{2+7} \times AC = \frac{7}{9} \times 21,6 = 7 \times 2,4 = 16,8 \text{ см} $$

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ как отношение длин соответственных сторон $MC$ и $AC$: $$ k = \frac{MC}{AC} = \frac{16,8}{21,6} = \frac{168}{216} = \frac{7 \times 24}{9 \times 24} = \frac{7}{9} $$

Зная коэффициент подобия, найдём длины двух других сторон отсечённого треугольника $MNC$, используя известные стороны треугольника $ABC$ ($AB = 10$ см, $BC = 18$ см):

• $NC = k \times BC = \frac{7}{9} \times 18 = 7 \times 2 = 14 \text{ см}$
• $MN = k \times AB = \frac{7}{9} \times 10 = \frac{70}{9} \text{ см}$

Таким образом, стороны отсечённого треугольника $MNC$ равны $16,8$ см, $14$ см и $\frac{70}{9}$ см.

Ответ: $14 \text{ см}$, $16,8 \text{ см}$, $\frac{70}{9} \text{ см}$.

717 Докажите, что медиана AM треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах AB и АС.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором $AM$ — медиана, проведенная к стороне $BC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $BM = MC$. Рассмотрим произвольный отрезок $PQ$, который параллелен стороне $BC$ ($PQ \parallel BC$), и концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$ (точка $P$ на $AB$, точка $Q$ на $AC$). Пусть медиана $AM$ пересекает отрезок $PQ$ в точке $N$. Необходимо доказать, что точка $N$ является серединой отрезка $PQ$, то есть $PN = NQ$.

Для доказательства воспользуемся методом подобия треугольников.

Сначала рассмотрим треугольники $\triangle APN$ и $\triangle ABM$. Угол $\angle BAM$ является общим для этих двух треугольников. Поскольку по условию $PQ \parallel BC$, углы $\angle APN$ и $\angle ABM$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $PQ$, $BC$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $\triangle APN$ подобен треугольнику $\triangle ABM$ по двум углам (первый признак подобия). Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $\frac{PN}{BM} = \frac{AN}{AM}$

Из этого соотношения выразим длину отрезка $PN$: $PN = BM \cdot \frac{AN}{AM}$

Теперь рассмотрим другую пару треугольников: $\triangle ANQ$ и $\triangle AMC$. Угол $\angle CAM$ является для них общим. Так как $PQ \parallel BC$, углы $\angle AQN$ и $\angle ACM$ равны как соответственные при параллельных прямых $PQ$, $BC$ и секущей $AC$. Значит, треугольник $\triangle ANQ$ подобен треугольнику $\triangle AMC$ по двум углам. Из их подобия также следует пропорциональность сторон: $\frac{NQ}{MC} = \frac{AN}{AM}$

Выразим длину отрезка $NQ$: $NQ = MC \cdot \frac{AN}{AM}$

Теперь сравним полученные выражения для $PN$ и $NQ$. $PN = BM \cdot \frac{AN}{AM}$ $NQ = MC \cdot \frac{AN}{AM}$ Поскольку $AM$ является медианой, то по определению $BM = MC$. Следовательно, правые части этих равенств равны. А значит, равны и левые части: $PN = NQ$

Таким образом, мы доказали, что точка $N$ делит отрезок $PQ$ пополам. Это справедливо для любого отрезка, параллельного стороне $BC$, с концами на сторонах $AB$ и $AC$.

Ответ: Утверждение доказано. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $BC$, концы которого лежат на сторонах $AB$ и $AC$.

718 Два шеста AB и CD разной длины a и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 241. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что:

а) $\frac{m}{d}=\frac{x}{b}$ и $\frac{n}{d}=\frac{x}{a};$

б) $\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1.$

Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами AB и CD.

Обозначим точку на отрезке $AC$ под точкой $O$ как $K$. Таким образом, $OK$ — это перпендикуляр из точки $O$ на прямую $AC$. Согласно рисунку, длина этого перпендикуляра $OK = x$. Также, $AK=m$, $KC=n$, и $AC = d = m+n$. Длины шестов $AB=a$ и $CD=b$. Поскольку шесты установлены вертикально, они параллельны друг другу и перпендикулярны земле: $AB \parallel CD$ и $AB \perp AC$, $CD \perp AC$. Следовательно, $OK$ также параллелен $AB$ и $CD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как $OK \parallel CD$, то треугольник $\triangle AKO$ подобен треугольнику $\triangle ACD$ по двум углам (угол $\angle CAD$ — общий; $\angle AKO = \angle ACD = 90^\circ$ так как $OK$ и $CD$ вертикальны).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AK}{AC} = \frac{OK}{CD}$

Подставляя известные обозначения, получаем:

$\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CAB$. Так как $OK \parallel AB$, то треугольник $\triangle CKO$ подобен треугольнику $\triangle CAB$ по двум углам (угол $\angle ACB$ — общий; $\angle CKO = \angle CAB = 90^\circ$ так как $OK$ и $AB$ вертикальны).

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{CK}{CA} = \frac{OK}{AB}$

Подставляя известные обозначения, получаем:

$\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$

Таким образом, оба равенства доказаны.

Ответ: Равенства $\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$ и $\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$ доказаны на основе подобия треугольников.

Воспользуемся равенствами, доказанными в пункте а):

1) $\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$

2) $\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$

Сложим левые и правые части этих равенств:

$\frac{m}{d} + \frac{n}{d} = \frac{x}{b} + \frac{x}{a}$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{m+n}{d}$

По условию, $d = m+n$. Следовательно, левая часть равна $\frac{d}{d} = 1$.

Таким образом, мы получаем равенство:

$1 = \frac{x}{b} + \frac{x}{a}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$ доказано.

Нахождение x и доказательство его независимости от d

Для нахождения $x$ воспользуемся равенством, доказанным в пункте б):

$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$x \cdot (\frac{b+a}{ab}) = 1$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{ab}{a+b}$

Полученная формула для $x$ содержит только величины $a$ и $b$, которые являются длинами шестов. Расстояние $d$ между шестами в этой формуле отсутствует. Это доказывает, что высота точки пересечения веревок $x$ не зависит от расстояния $d$ между шестами.

Ответ: $x = \frac{ab}{a+b}$. Значение $x$ не зависит от расстояния $d$, так как итоговая формула содержит только длины шестов $a$ и $b$.

719 Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, если: а) ABA₁B₁ = ACA₁C₁ = BMB₁M₁, где BМ и B₁M₁ — медианы треугольников; б) ∠A = ∠A₁, ACA₁C₁ = ВНВ₁Н₁, где ВН и В₁Н₁ — высоты треугольников ABC и A₁B₁C₁.

а)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию $BM$ и $B_1M_1$ — медианы, проведенные к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AC$, а $M_1$ — серединой $A_1C_1$. Следовательно, $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$.

Из условия задачи дано равенство отношений: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BM}{B_1M_1}$.

Поскольку $AM = \frac{1}{2}AC$ и $A_1M_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$, то отношение $\frac{AM}{A_1M_1} = \frac{\frac{1}{2}AC}{\frac{1}{2}A_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Таким образом, из условия следует, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BM}{B_1M_1} = \frac{AM}{A_1M_1}$.

Это означает, что три стороны треугольника $ABM$ пропорциональны трем сторонам треугольника $A_1B_1M_1$. По третьему признаку подобия (по трем сторонам) $\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$.

Из подобия треугольников $ABM$ и $A_1B_1M_1$ следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle A = \angle A_1$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. У них есть две пропорциональные стороны $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$ (по условию) и равный угол между ними $\angle A = \angle A_1$ (как было доказано). Следовательно, по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Доказано, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

б)

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. По условию, $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, проведенными к сторонам $AC$ и $A_1C_1$ соответственно. Это означает, что $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$, и, следовательно, треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$ — прямоугольные ($\angle BHA = 90^\circ$, $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$).

Рассмотрим эти прямоугольные треугольники $ABH$ и $A_1B_1H_1$. У них есть равные острые углы $\angle A = \angle A_1$ (по условию). Следовательно, по первому признаку подобия (по двум углам), $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$.

Из подобия треугольников $ABH$ и $A_1B_1H_1$ следует пропорциональность их соответствующих сторон: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BH}{B_1H_1}$.

По условию задачи также дано, что $\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{BH}{B_1H_1}$.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем: $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Теперь рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Мы установили, что у них две стороны пропорциональны ($\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$) и угол между этими сторонами равен ($\angle A = \angle A_1$). Таким образом, по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Доказано, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

720 Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А взаимно перпендикулярны. Основание AB равно 6 см, а боковая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.

Дано: $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $?A = 90°$. Так как основания трапеции параллельны ($AB || DC$), а боковая сторона $AD$ перпендикулярна основанию $AB$, то она также перпендикулярна и основанию $DC$, следовательно, $?D = 90°$. Таким образом, $AD$ является высотой трапеции.

Известны длины: основание $AB = 6$ см, высота $AD = 4$ см.

Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны: $AC ? BD$.

DC

В прямоугольной трапеции с перпендикулярными диагоналями квадрат высоты равен произведению ее оснований. Докажем это свойство.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Рассмотрим треугольники $?AOD$ и $?BOC$. Они не подобны, но мы можем использовать другие треугольники.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $?ABD$ ($?A = 90°$) и $?ADC$ ($?D = 90°$).

Пусть $?ABD = ?$. Из $?ABD$ имеем $tan(?) = \frac{AD}{AB}$.

Так как $AC ? BD$, то $?AOB = 90°$. В прямоугольном треугольнике $?AOB$ имеем $?OAB = 90° - ?ABO = 90° - ?$.

Поскольку $?DAB = 90°$, то $?DAC = ?DAB - ?CAB = 90° - ?OAB = 90° - (90° - ?) = ?$.

Теперь в прямоугольном треугольнике $?ADC$ имеем $tan(?DAC) = \frac{DC}{AD}$.

Поскольку $?DAC = ?$, то $tan(?) = \frac{DC}{AD}$.

Приравнивая два выражения для $tan(?)$, получаем: $ \frac{AD}{AB} = \frac{DC}{AD} $

Отсюда $AD^2 = AB \cdot DC$.

Подставим известные значения: $ 4^2 = 6 \cdot DC $ $ 16 = 6 \cdot DC $ $ DC = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} $ см.

Ответ: $DC = \frac{8}{3}$ см.

DB

Диагональ $DB$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $?ABD$ ($?A = 90°$). По теореме Пифагора: $ DB^2 = AB^2 + AD^2 $

Подставим известные значения: $ DB^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 $

$ DB = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} $ см.

Ответ: $DB = 2\sqrt{13}$ см.

CB

Для нахождения боковой стороны $CB$ опустим высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AB$. Получим прямоугольник $ADCH$, так как $AD || CH$ и $DC || AH$.

Следовательно, высота $CH = AD = 4$ см, а отрезок $AH = DC = \frac{8}{3}$ см.

Найдем длину отрезка $HB$: $ HB = AB - AH = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $?CHB$ ($?H = 90°$). По теореме Пифагора: $ CB^2 = CH^2 + HB^2 $

Подставим найденные значения: $ CB^2 = 4^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = 16 + \frac{100}{9} = \frac{144}{9} + \frac{100}{9} = \frac{244}{9} $

$ CB = \sqrt{\frac{244}{9}} = \frac{\sqrt{244}}{3} = \frac{\sqrt{4 \cdot 61}}{3} = \frac{2\sqrt{61}}{3} $ см.

Ответ: $CB = \frac{2\sqrt{61}}{3}$ см.

721* Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны a и b.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Через точку $O$ проведен отрезок $MN$, параллельный основаниям, концы которого, $M$ и $N$, лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Требуется найти длину отрезка $MN$.

Длина отрезка $MN$ является суммой длин отрезков $MO$ и $ON$, то есть $MN = MO + ON$. Найдем длины этих отрезков по отдельности.

1. Нахождение длины $MO$

Рассмотрим треугольник $ABD$. Поскольку $MO \parallel AD$ по условию, треугольник $BMO$ подобен треугольнику $BDA$ по двум углам (угол при вершине $B$ у них общий, а углы $\angle BMO$ и $\angle BAD$ равны как соответственные при параллельных прямых $MO$ и $AD$ и секущей $AB$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{MO}{AD} = \frac{BO}{BD}$

Подставив $AD = a$, получаем:

$MO = a \cdot \frac{BO}{BD}$

2. Нахождение длины $ON$

Рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку $ON \parallel AD$ (так как $MN \parallel AD$), треугольник $CNO$ подобен треугольнику $CDA$ по двум углам (угол при вершине $C$ общий, а углы $\angle CNO$ и $\angle CDA$ равны как соответственные при параллельных прямых $ON$ и $AD$ и секущей $CD$).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

$\frac{ON}{AD} = \frac{CO}{CA}$

Подставив $AD = a$, получаем:

$ON = a \cdot \frac{CO}{CA}$

3. Нахождение соотношений для сторон диагоналей

Чтобы найти $MO$ и $ON$, нам нужно определить отношения $\frac{BO}{BD}$ и $\frac{CO}{CA}$. Для этого рассмотрим пару треугольников, образованных пересечением диагоналей.

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны друг другу по трем углам: $\angle AOD = \angle COB$ как вертикальные, а остальные углы равны как накрест лежащие при параллельных основаниях $AD$ и $BC$ и секущих $AC$ и $BD$.

Из подобия $\triangle AOD \sim \triangle COB$ следует:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{CB} = \frac{a}{b}$

Из соотношения $\frac{AO}{CO} = \frac{a}{b}$ найдем отношение $\frac{CO}{CA}$. Имеем $AO = \frac{a}{b}CO$. Тогда вся диагональ $AC = AO + CO = \frac{a}{b}CO + CO = CO\left(\frac{a}{b} + 1\right) = CO\frac{a+b}{b}$.

Отсюда получаем:

$\frac{CO}{CA} = \frac{b}{a+b}$

Аналогично из $\frac{DO}{BO} = \frac{a}{b}$ найдем $\frac{BO}{BD}$. Имеем $DO = \frac{a}{b}BO$. Вся диагональ $BD = BO + DO = BO + \frac{a}{b}BO = BO\left(1 + \frac{a}{b}\right) = BO\frac{a+b}{b}$.

Отсюда получаем:

$\frac{BO}{BD} = \frac{b}{a+b}$

4. Вычисление длины $MN$

Теперь подставим найденные отношения в формулы для $MO$ и $ON$:

$MO = a \cdot \frac{BO}{BD} = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

$ON = a \cdot \frac{CO}{CA} = a \cdot \frac{b}{a+b} = \frac{ab}{a+b}$

Как видим, $MO=ON$, то есть точка пересечения диагоналей делит искомый отрезок пополам.

Итоговая длина отрезка $MN$ равна:

$MN = MO + ON = \frac{ab}{a+b} + \frac{ab}{a+b} = \frac{2ab}{a+b}$

Длина этого отрезка является средним гармоническим длин оснований трапеции.

Ответ: $\frac{2ab}{a+b}$

722 Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Рассмотрим одну из его средних линий, например, отрезок $MN$, где точка $M$ — середина стороны $AB$, а точка $N$ — середина стороны $AC$. Обозначим прямую, на которой лежит эта средняя линия, как $l$. Нам необходимо доказать, что вершины $A$, $B$ и $C$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $l$.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Таким образом, $MN \parallel BC$. Поскольку прямая $l$ содержит отрезок $MN$, то и вся прямая $l$ параллельна стороне $BC$ ($l \parallel BC$).

Так как прямые $l$ и $BC$ параллельны, все точки прямой $BC$ равноудалены от прямой $l$. Это означает, что расстояние от вершины $B$ до прямой $l$ равно расстоянию от вершины $C$ до прямой $l$.

Теперь определим расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ и сравним его с расстоянием от вершин $B$ и $C$. Проведем из вершины $A$ высоту $AH$ к стороне $BC$. Так как $AH \perp BC$ и $l \parallel BC$, то высота $AH$ также будет перпендикулярна и прямой $l$. Пусть $K$ — точка пересечения высоты $AH$ и прямой $l$.

В этом случае, расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ равно длине отрезка $AK$. Расстояние от любой точки на прямой $BC$ (включая вершины $B$ и $C$) до прямой $l$ равно длине отрезка $KH$. Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенства $AK = KH$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABH$. Точка $M$ является серединой стороны $AB$ по построению. Отрезок $MK$ является частью прямой $l$, которая параллельна стороне $BC$, а значит, и отрезку $BH$, который лежит на прямой $BC$. Итак, в $\triangle ABH$ через середину стороны $AB$ проведена прямая $MK$, параллельная стороне $BH$.

По теореме Фалеса (или по свойству прямой, проходящей через середину одной из сторон треугольника параллельно другой стороне), такая прямая делит третью сторону пополам. В нашем случае прямая $MK$ делит сторону $AH$ в точке $K$ пополам. Следовательно, точка $K$ является серединой высоты $AH$, и $AK = KH$.

Таким образом, мы доказали, что расстояние от вершины $A$ до прямой $l$ ($AK$) равно расстоянию от вершин $B$ и $C$ до прямой $l$ ($KH$). Следовательно, все три вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.

Ответ: Утверждение доказано.

723 Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.

Пусть дан ромб $ABCD$. Точки $M, N, P, Q$ являются серединами сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Соединив эти точки, мы получаем четырехугольник $MNPQ$. Нам нужно доказать, что $MNPQ$ — это прямоугольник.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Отрезок $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $MN$ параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине: $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

2. Аналогично, в $\triangle ADC$ отрезок $PQ$ является средней линией. Следовательно, $PQ$ также параллелен $AC$ и равен ее половине: $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$.

3. Из того, что $MN \parallel AC$ и $PQ \parallel AC$, следует, что $MN \parallel PQ$. Из того, что $MN = \frac{1}{2}AC$ и $PQ = \frac{1}{2}AC$, следует, что $MN = PQ$. Поскольку в четырехугольнике $MNPQ$ противолежащие стороны $MN$ и $PQ$ равны и параллельны, $MNPQ$ является параллелограммом по признаку параллелограмма.

4. Теперь рассмотрим $\triangle ABD$. Отрезок $MQ$ соединяет середины сторон $AB$ и $AD$. По теореме о средней линии, $MQ \parallel BD$ и $MQ = \frac{1}{2}BD$.

5. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.

6. Мы установили, что $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$. Так как $AC \perp BD$, то и параллельные им прямые $MN$ и $MQ$ также перпендикулярны. Следовательно, угол между смежными сторонами параллелограмма $MNPQ$ прямой: $\angle NMQ = 90^\circ$.

7. Параллелограмм, у которого есть прямой угол, является прямоугольником. Таким образом, четырехугольник $MNPQ$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник, образованный соединением середин сторон ромба, является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны и равны (каждая пара параллельна одной из диагоналей ромба и равна ее половине). Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то и смежные стороны полученного параллелограмма также перпендикулярны, а параллелограмм с прямым углом является прямоугольником.

724 Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части.

Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм. Пусть $M$ — середина стороны $CD$, а $N$ — середина стороны $BC$. Обозначим точки пересечения прямых $AM$ и $AN$ с диагональю $BD$ как $P$ и $Q$ соответственно.

Для доказательства воспользуемся свойством медиан треугольника. Рассмотрим диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$. Пусть они пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, точка $O$ является серединой для каждой из них, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

1. Рассмотрение треугольника $ABC$

В треугольнике $ABC$ отрезок $AN$ является медианой, так как по условию $N$ — середина стороны $BC$. Отрезок $BO$ также является медианой в $\triangle ABC$, так как $O$ — середина стороны $AC$. Медианы $AN$ и $BO$ пересекаются в точке $Q$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Для медианы $BO$ это означает: $$ BQ : QO = 2:1 $$ Из этого соотношения следует, что $BQ = \frac{2}{3}BO$.

Поскольку $O$ — середина всей диагонали $BD$, то $BO = \frac{1}{2}BD$. Подставим это в предыдущее выражение: $$ BQ = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{3}BD $$

2. Рассмотрение треугольника $ADC$

Аналогично, в треугольнике $ADC$ отрезок $AM$ является медианой, так как по условию $M$ — середина стороны $CD$. Отрезок $DO$ является медианой в $\triangle ADC$, так как $O$ — середина стороны $AC$. Медианы $AM$ и $DO$ пересекаются в точке $P$. Применяя свойство точки пересечения медиан к медиане $DO$, получаем: $$ DP : PO = 2:1 $$ Из этого соотношения следует, что $DP = \frac{2}{3}DO$.

Поскольку $O$ — середина диагонали $BD$, то $DO = \frac{1}{2}BD$. Подставим это: $$ DP = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{3}BD $$

3. Вывод

Мы получили, что длины двух крайних отрезков диагонали равны $BQ = \frac{1}{3}BD$ и $DP = \frac{1}{3}BD$. Длину среднего отрезка $QP$ можно найти, вычтя из длины всей диагонали длины крайних отрезков: $$ QP = BD - BQ - DP = BD - \frac{1}{3}BD - \frac{1}{3}BD = \frac{1}{3}BD $$ Таким образом, мы доказали, что $BQ = QP = DP$.

Ответ: Утверждение доказано. Прямые $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

725 Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BDAB = DCAC.

Это утверждение известно как теорема о биссектрисе внешнего угла треугольника. Докажем его, используя метод площадей.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AD$ внешнего угла при вершине $A$, которая пересекает прямую $BC$ в точке $D$.

Рассмотрим отношение площадей треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle ACD$.

1. С одной стороны, отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований $BD$ и $DC$, так как они имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к прямой $BC$. Обозначим эту высоту $h_A$.

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot DC \cdot h_A} = \frac{BD}{DC} $

2. С другой стороны, выразим площади этих же треугольников через произведение двух сторон и синус угла между ними:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)$

$S_{ACD} = \frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)$

Тогда их отношение равно:

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD)}{\frac{1}{2} AC \cdot AD \cdot \sin(\angle CAD)} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} $

3. Докажем, что $\sin(\angle BAD) = \sin(\angle CAD)$.

Пусть $E$ — точка на продолжении стороны $CA$ за вершину $A$. Тогда $\angle EAB$ — это внешний угол при вершине $A$. По условию, $AD$ — его биссектриса, значит $\angle EAD = \angle DAB$.

Углы $\angle EAB$ и $\angle CAB$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle EAB + \angle CAB = 180^\circ$

Поскольку $\angle EAB = 2\angle DAB$, то $2\angle DAB + \angle CAB = 180^\circ$, откуда $\angle CAB = 180^\circ - 2\angle DAB$.

Угол $\angle CAD$ состоит из углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$:

$\angle CAD = \angle CAB + \angle DAB = (180^\circ - 2\angle DAB) + \angle DAB = 180^\circ - \angle DAB$.

Таким образом, углы $\angle CAD$ и $\angle DAB$ в сумме дают $180^\circ$. Синусы углов, сумма которых равна $180^\circ$, равны:

$\sin(\angle CAD) = \sin(180^\circ - \angle DAB) = \sin(\angle DAB)$.

4. Подставим это равенство в выражение для отношения площадей из пункта 2:

$ \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AB}{AC} \cdot 1 = \frac{AB}{AC} $

5. Теперь приравняем два полученных выражения для отношения площадей (из пунктов 1 и 4):

$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $

Перегруппировав члены пропорции, получаем требуемое равенство:

$ \frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC} $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для биссектрисы $AD$ внешнего угла при вершине $A$ треугольника $ABC$, пересекающей прямую $BC$ в точке $D$, справедливо равенство $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$.