Номер 718, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 718, страница 187.

718 Два шеста AB и CD разной длины a и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 241. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что:

а) $\frac{m}{d}=\frac{x}{b}$ и $\frac{n}{d}=\frac{x}{a};$

б) $\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1.$

Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d между шестами AB и CD.

Обозначим точку на отрезке $AC$ под точкой $O$ как $K$. Таким образом, $OK$ — это перпендикуляр из точки $O$ на прямую $AC$. Согласно рисунку, длина этого перпендикуляра $OK = x$. Также, $AK=m$, $KC=n$, и $AC = d = m+n$. Длины шестов $AB=a$ и $CD=b$. Поскольку шесты установлены вертикально, они параллельны друг другу и перпендикулярны земле: $AB \parallel CD$ и $AB \perp AC$, $CD \perp AC$. Следовательно, $OK$ также параллелен $AB$ и $CD$.

а)

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Так как $OK \parallel CD$, то треугольник $\triangle AKO$ подобен треугольнику $\triangle ACD$ по двум углам (угол $\angle CAD$ — общий; $\angle AKO = \angle ACD = 90^\circ$ так как $OK$ и $CD$ вертикальны).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AK}{AC} = \frac{OK}{CD}$

Подставляя известные обозначения, получаем:

$\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle CAB$. Так как $OK \parallel AB$, то треугольник $\triangle CKO$ подобен треугольнику $\triangle CAB$ по двум углам (угол $\angle ACB$ — общий; $\angle CKO = \angle CAB = 90^\circ$ так как $OK$ и $AB$ вертикальны).

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность сторон:

$\frac{CK}{CA} = \frac{OK}{AB}$

Подставляя известные обозначения, получаем:

$\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$

Таким образом, оба равенства доказаны.

Ответ: Равенства $\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$ и $\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$ доказаны на основе подобия треугольников.

б)

Воспользуемся равенствами, доказанными в пункте а):

1) $\frac{m}{d} = \frac{x}{b}$

2) $\frac{n}{d} = \frac{x}{a}$

Сложим левые и правые части этих равенств:

$\frac{m}{d} + \frac{n}{d} = \frac{x}{b} + \frac{x}{a}$

Преобразуем левую часть уравнения:

$\frac{m+n}{d}$

По условию, $d = m+n$. Следовательно, левая часть равна $\frac{d}{d} = 1$.

Таким образом, мы получаем равенство:

$1 = \frac{x}{b} + \frac{x}{a}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$ доказано.

Нахождение x и доказательство его независимости от d

Для нахождения $x$ воспользуемся равенством, доказанным в пункте б):

$\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1$

Вынесем $x$ за скобки в левой части:

$x \cdot (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$x \cdot (\frac{b+a}{ab}) = 1$

Теперь выразим $x$:

$x = \frac{ab}{a+b}$

Полученная формула для $x$ содержит только величины $a$ и $b$, которые являются длинами шестов. Расстояние $d$ между шестами в этой формуле отсутствует. Это доказывает, что высота точки пересечения веревок $x$ не зависит от расстояния $d$ между шестами.

Ответ: $x = \frac{ab}{a+b}$. Значение $x$ не зависит от расстояния $d$, так как итоговая формула содержит только длины шестов $a$ и $b$.