Номер 716, страница 187 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 716, страница 187.

716 Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, делит сторону АС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Найдите стороны отсечённого треугольника, если AB = 10 см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, образуется отсечённый треугольник $MNC$.

Поскольку прямая $MN$ параллельна стороне $AB$, то отсечённый треугольник $MNC$ подобен исходному треугольнику $ABC$. Подобие следует из того, что угол $C$ у них общий, а углы $\angle CMN$ и $\angle CAB$ (а также $\angle CNM$ и $\angle CBA$) равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущих $AC$ и $BC$ соответственно.

Из подобия треугольников $MNC$ и $ABC$ следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{MC}{AC} = \frac{NC}{BC} = \frac{MN}{AB} = k $$ где $k$ — коэффициент подобия.

По условию задачи, прямая $MN$ делит сторону $AC$ в отношении $2:7$, считая от вершины $A$. Это означает, что отношение отрезков $AM:MC = 2:7$. Следовательно, вся сторона $AC$ состоит из $2+7=9$ частей. Отрезок $MC$ составляет 7 из этих 9 частей от всей длины стороны $AC$.

Длина стороны $AC$ по условию равна $21,6$ см. Найдём длину стороны $MC$ отсечённого треугольника: $$ MC = \frac{7}{2+7} \times AC = \frac{7}{9} \times 21,6 = 7 \times 2,4 = 16,8 \text{ см} $$

Теперь мы можем найти коэффициент подобия $k$ как отношение длин соответственных сторон $MC$ и $AC$: $$ k = \frac{MC}{AC} = \frac{16,8}{21,6} = \frac{168}{216} = \frac{7 \times 24}{9 \times 24} = \frac{7}{9} $$

Зная коэффициент подобия, найдём длины двух других сторон отсечённого треугольника $MNC$, используя известные стороны треугольника $ABC$ ($AB = 10$ см, $BC = 18$ см):

• $NC = k \times BC = \frac{7}{9} \times 18 = 7 \times 2 = 14 \text{ см}$
• $MN = k \times AB = \frac{7}{9} \times 10 = \frac{70}{9} \text{ см}$

Таким образом, стороны отсечённого треугольника $MNC$ равны $16,8$ см, $14$ см и $\frac{70}{9}$ см.

Ответ: $14 \text{ см}$, $16,8 \text{ см}$, $\frac{70}{9} \text{ см}$.