Номер 715, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 715, страница 186.

715 На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что BDAB = DCAC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC.

Для доказательства того, что отрезок $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ в треугольнике $ABC$, воспользуемся методом дополнительного построения. Данная задача представляет собой доказательство теоремы, обратной свойству биссектрисы угла треугольника.

Дано:
Треугольник $ABC$.
Точка $D$ лежит на стороне $BC$.
Выполняется соотношение $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$.

Доказать:
$AD$ — биссектриса угла $BAC$, то есть $\angle BAD = \angle CAD$.

Доказательство:

1. Преобразуем исходное соотношение $\frac{BD}{AB} = \frac{DC}{AC}$. Используя свойство пропорции (можно поменять местами средние члены), получим равносильное соотношение: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$ Именно в таком виде формулируется свойство биссектрисы.

2. Выполним дополнительное построение. На продолжении стороны $AB$ за точку $A$ отложим отрезок $AE$, длина которого равна длине стороны $AC$. То есть, $AE = AC$. После этого соединим точки $E$ и $C$.

3. Рассмотрим вновь образованный треугольник $AEC$. По построению $AE = AC$, следовательно, треугольник $AEC$ является равнобедренным с основанием $EC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $$ \angle AEC = \angle ACE $$

4. Вернемся к соотношению, полученному в шаге 1: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Так как мы построили $AE = AC$, мы можем заменить $AC$ на $AE$ в этом равенстве: $$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE} $$

5. Теперь рассмотрим треугольник $EBC$. Прямая $AD$ пересекает его стороны $BC$ и $BE$ (сторона $BE$ является продолжением $BA$). Равенство, полученное в шаге 4, показывает, что прямая $AD$ делит стороны $BC$ и $BE$ треугольника $EBC$ на пропорциональные отрезки.

6. Согласно теореме, обратной обобщенной теореме Фалеса, если прямая, пересекающая две стороны треугольника (или их продолжения), отсекает от них пропорциональные отрезки, то эта прямая параллельна третьей стороне треугольника. В нашем случае это означает, что прямая $AD$ параллельна прямой $EC$: $$ AD \parallel EC $$

7. Из параллельности прямых $AD$ и $EC$ следуют равенства углов, образованных при пересечении этих прямых секущими:
- При пересечении параллельных прямых $AD$ и $EC$ секущей $BE$ соответственные углы равны. Следовательно, $\angle BAD = \angle BEC$. Угол $\angle BEC$ — это тот же угол, что и $\angle AEC$, поэтому $\angle BAD = \angle AEC$.
- При пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $EC$ секущей $AC$ накрест лежащие углы равны. Следовательно, $\angle CAD = \angle ACE$.

8. Сопоставим все полученные равенства:
- $\angle AEC = \angle ACE$ (из шага 3, так как $\triangle AEC$ — равнобедренный).
- $\angle BAD = \angle AEC$ (из шага 7, как соответственные углы).
- $\angle CAD = \angle ACE$ (из шага 7, как накрест лежащие углы).
Из этих трех равенств следует, что: $$ \angle BAD = \angle CAD $$

Таким образом, мы доказали, что отрезок $AD$ делит угол $BAC$ на два равных угла, а это по определению означает, что $AD$ является биссектрисой угла $BAC$ треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.