Номер 17, страница 186 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 17, страница 186.

17 Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?

Основным тригонометрическим тождеством называют равенство, которое связывает квадрат синуса и квадрат косинуса одного и того же угла. Это тождество справедливо для любого угла $\alpha$.

Формула основного тригонометрического тождества выглядит так:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Происхождение и доказательство

Данное тождество является прямым следствием теоремы Пифагора. Его легко доказать с помощью единичной окружности в декартовой системе координат.

1. Рассмотрим окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 1$. Уравнение такой окружности: $x^2 + y^2 = R^2$, что в нашем случае равно $x^2 + y^2 = 1$.

2. Возьмем на окружности произвольную точку $P(x, y)$. Эта точка соответствует некоторому углу $\alpha$, который образует радиус-вектор $OP$ с положительным направлением оси абсцисс $Ox$.

3. По определению тригонометрических функций на единичной окружности, абсцисса $x$ точки $P$ равна косинусу угла $\alpha$, а её ордината $y$ — синусу угла $\alpha$:
$x = \cos\alpha$
$y = \sin\alpha$

4. Теперь подставим эти выражения для $x$ и $y$ в уравнение окружности $x^2 + y^2 = 1$:
$(\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha)^2 = 1$

Для удобства записи квадраты тригонометрических функций принято писать без скобок, $\cos^2\alpha$ и $\sin^2\alpha$. Таким образом, мы получаем итоговое тождество.

Значение тождества

Это тождество является фундаментальным в тригонометрии, поскольку оно устанавливает неразрывную связь между синусом и косинусом. Благодаря ему можно, зная значение одной из этих функций, найти значение другой (учитывая знак, который зависит от координатной четверти угла). Оно также широко используется для упрощения тригонометрических выражений и доказательства других тождеств.

Ответ: Основным тригонометрическим тождеством называют равенство $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.