Номер 11, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 11, страница 185.
№11 (с. 185)
Условие. №11 (с. 185)
скриншот условия

11 Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Решение 2. №11 (с. 185)

Решение 4. №11 (с. 185)

Решение 11. №11 (с. 185)
Утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике касаются соотношений между катетами, гипотенузой, высотой, проведенной к гипотенузе, и проекциями катетов на гипотенузу. Для формулировки и доказательства этих утверждений рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$). Проведем высоту $CD$ из вершины $C$ на гипотенузу $AB$.
Введем следующие обозначения: $a=BC$ и $b=AC$ — катеты; $c=AB$ — гипотенуза; $h_c=CD$ — высота, проведенная к гипотенузе; $a_c=DB$ — проекция катета $a$ на гипотенузу; $b_c=AD$ — проекция катета $b$ на гипотенузу. Заметим, что $c = a_c + b_c$.
Основой доказательств является подобие треугольников, образующихся при проведении высоты к гипотенузе. Треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$ подобны друг другу, и каждый из них подобен исходному треугольнику $\triangle ABC$.
1. $\triangle ABC \sim \triangle ACD$, так как у них общий $\angle A$ и оба имеют прямой угол ($\angle ACB = \angle ADC = 90^\circ$).
2. $\triangle ABC \sim \triangle CBD$, так как у них общий $\angle B$ и оба имеют прямой угол ($\angle ACB = \angle CDB = 90^\circ$).
3. Из этих двух подобий следует, что $\triangle ACD \sim \triangle CBD$.
Первое утверждение: о высоте, проведенной к гипотенузе
Формулировка: Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) между отрезками, на которые эта высота делит гипотенузу (то есть между проекциями катетов на гипотенузу).
Доказательство:
Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle CBD$. Так как треугольники подобны, их соответствующие стороны пропорциональны. Катет $AD$ треугольника $\triangle ACD$ соответствует катету $CD$ треугольника $\triangle CBD$. Катет $CD$ треугольника $\triangle ACD$ соответствует катету $DB$ треугольника $\triangle CBD$.
Таким образом, мы можем составить пропорцию:
$\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}$
Используя введенные обозначения, получаем:
$\frac{b_c}{h_c} = \frac{h_c}{a_c}$
Применяя основное свойство пропорции (произведение средних членов равно произведению крайних), имеем:
$h_c \cdot h_c = a_c \cdot b_c$
$h_c^2 = a_c \cdot b_c$
Утверждение доказано.
Ответ: Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $h_c^2 = a_c \cdot b_c$.
Второе утверждение: о катете
Формулировка: Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное (или среднее геометрическое) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Доказательство:
Это утверждение состоит из двух частей: для каждого катета.
1. Для катета $a$ ($BC$):
Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CBD$. Из их подобия следует пропорциональность соответствующих сторон. Гипотенуза $AB$ первого треугольника относится к гипотенузе $BC$ второго, как катет $BC$ первого к катету $DB$ второго.
$\frac{AB}{BC} = \frac{BC}{DB}$
В наших обозначениях:
$\frac{c}{a} = \frac{a}{a_c}$
Отсюда получаем: $a^2 = c \cdot a_c$.
2. Для катета $b$ ($AC$):
Рассмотрим подобные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ACD$. Аналогично, гипотенуза $AB$ относится к гипотенузе $AC$, как катет $AC$ к катету $AD$.
$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}$
В наших обозначениях:
$\frac{c}{b} = \frac{b}{b_c}$
Отсюда получаем: $b^2 = c \cdot b_c$.
Обе части утверждения доказаны.
Ответ: Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$ и $b^2 = c \cdot b_c$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 11 расположенного на странице 185 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №11 (с. 185), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.