Номер 4, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Вопросы для повторения к главе 8 - номер 4, страница 185.

Условие.

4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Формулировка теоремы

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Доказательство

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Коэффициент подобия равен $k$. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

и соответствующие углы равны:

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

Площадь треугольника вычисляется по формуле половины произведения основания на высоту. Проведем в треугольниках высоты $BH$ к стороне $AC$ и $B_1H_1$ к стороне $A_1C_1$.

Площади треугольников будут равны:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1C_1 \cdot B_1H_1$

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} A_1C_1 \cdot B_1H_1}{\frac{1}{2} AC \cdot BH} = \frac{A_1C_1}{AC} \cdot \frac{B_1H_1}{BH}$

Из определения коэффициента подобия мы знаем, что $\frac{A_1C_1}{AC} = k$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Поскольку $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то их соответствующие углы равны, в частности $\angle A = \angle A_1$. Так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, то $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Поскольку $\frac{A_1B_1}{AB} = k$, то и отношение высот также равно коэффициенту подобия:

$\frac{B_1H_1}{BH} = k$

Подставим полученные выражения для отношений сторон и высот в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{A_1C_1}{AC} \cdot \frac{B_1H_1}{BH} = k \cdot k = k^2$

Теорема доказана.

Ответ: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.