Номер 4, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 4, страница 185.

4 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Формулировка теоремы

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Доказательство

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Коэффициент подобия равен $k$. Это означает, что их соответствующие стороны пропорциональны:

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

и соответствующие углы равны:

$\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$

Площадь треугольника вычисляется по формуле половины произведения основания на высоту. Проведем в треугольниках высоты $BH$ к стороне $AC$ и $B_1H_1$ к стороне $A_1C_1$.

Площади треугольников будут равны:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BH$

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1C_1 \cdot B_1H_1$

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} A_1C_1 \cdot B_1H_1}{\frac{1}{2} AC \cdot BH} = \frac{A_1C_1}{AC} \cdot \frac{B_1H_1}{BH}$

Из определения коэффициента подобия мы знаем, что $\frac{A_1C_1}{AC} = k$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Поскольку $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то их соответствующие углы равны, в частности $\angle A = \angle A_1$. Так как $BH$ и $B_1H_1$ — высоты, то $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ подобны по первому признаку подобия (по двум равным углам).

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1B_1}{AB}$

Поскольку $\frac{A_1B_1}{AB} = k$, то и отношение высот также равно коэффициенту подобия:

$\frac{B_1H_1}{BH} = k$

Подставим полученные выражения для отношений сторон и высот в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{A_1C_1}{AC} \cdot \frac{B_1H_1}{BH} = k \cdot k = k^2$

Теорема доказана.

Ответ: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $\frac{S_1}{S_2} = k^2$.