Номер 5, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 8. Подобные треугольники. Параграф 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Вопросы для повторения к главе 8 - номер 5, страница 185.

Условие.

5 Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 11.

Сформулируйте

Теорема (первый признак подобия треугольников): если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Докажите

Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Дано: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, у которых $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$.

Доказать: $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство.

По определению, треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны. Таким образом, нам нужно доказать два факта:
1) $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$
2) $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$

Докажем равенство третьих углов. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle ABC$ имеем: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$ имеем: $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$.
Так как по условию теоремы $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то правые части этих равенств равны. Следовательно, $\angle C = \angle C_1$.
Таким образом, все углы одного треугольника соответственно равны углам другого.

Теперь докажем пропорциональность сходственных сторон. Наложим треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ на треугольник $\triangle ABC$ так, чтобы вершина $A_1$ совпала с вершиной $A$, а стороны $A_1B_1$ и $A_1C_1$ наложились на лучи $AB$ и $AC$ соответственно. Это возможно, поскольку $\angle A_1 = \angle A$. При таком наложении треугольник $\triangle A_1B_1C_1$ отобразится в некоторый треугольник $\triangle AB_2C_2$, который равен $\triangle A_1B_1C_1$.

Поскольку $\triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1$, то $\angle AB_2C_2 = \angle A_1B_1C_1$. По условию теоремы, $\angle A_1B_1C_1 = \angle B$, то есть $\angle ABC$. Значит, $\angle AB_2C_2 = \angle ABC$.

Углы $\angle AB_2C_2$ и $\angle ABC$ являются соответственными при прямых $B_2C_2$ и $BC$ и секущей $AB$. Так как эти углы равны, то прямые $B_2C_2$ и $BC$ параллельны ($B_2C_2 \parallel BC$).

По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса), прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от них пропорциональные отрезки. Применительно к $\triangle ABC$ и прямой $B_2C_2$ это означает:
$\frac{AB_2}{AB} = \frac{AC_2}{AC}$

Так как $\triangle AB_2C_2 = \triangle A_1B_1C_1$, то $AB_2 = A_1B_1$ и $AC_2 = A_1C_1$. Подставив эти значения в пропорцию, получаем:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC}$, или, что то же самое, $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Аналогично, если наложить треугольники, совмещая равные углы $B$ и $B_1$, можно доказать, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.

Таким образом, мы получили, что все три отношения сходственных сторон равны:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$.

Мы доказали, что все углы треугольников соответственно равны и их сходственные стороны пропорциональны. Следовательно, по определению, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
Теорема доказана.

Ответ: Теорема (первый признак подобия треугольников) утверждает, что если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Доказательство основано на том, что равенство двух пар углов влечет за собой равенство и третьей пары углов (из теоремы о сумме углов треугольника), а пропорциональность сторон доказывается методом наложения с последующим применением теоремы о пропорциональных отрезках.