Номер 9, страница 185 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 8. § 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Глава 8. Подобные треугольники - номер 9, страница 185.

9 Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Проведем в нем две медианы, $AA_1$ и $BB_1$, где $A_1$ — середина стороны $BC$, а $B_1$ — середина стороны $AC$. Пусть эти медианы пересекаются в точке $O$.

Соединим точки $A_1$ и $B_1$. Отрезок $A_1B_1$ является средней линией треугольника $ABC$, так как он соединяет середины двух его сторон. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, $A_1B_1 \parallel AB$ и $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A_1OB_1$. Углы $\angle AOB$ и $\angle A_1OB_1$ равны как вертикальные. Углы $\angle OAB$ (или $\angle BAA_1$) и $\angle OA_1B_1$ (или $\angle AA_1B_1$) равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AB$ и $A_1B_1$ и секущей $AA_1$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ подобен треугольнику $\triangle A_1OB_1$ по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:$\frac{AO}{A_1O} = \frac{BO}{B_1O} = \frac{AB}{A_1B_1}$Так как $A_1B_1 = \frac{1}{2}AB$, то отношение $\frac{AB}{A_1B_1} = 2$.Отсюда следует, что $\frac{AO}{A_1O} = 2$ и $\frac{BO}{B_1O} = 2$.Это доказывает, что точка пересечения двух медиан делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины.

Теперь докажем, что третья медиана $CC_1$ (где $C_1$ — середина $AB$) также проходит через точку $O$.Рассмотрим пересечение медиан $AA_1$ и $CC_1$ и назовем их точку пересечения $O'$. Аналогично предыдущим рассуждениям, рассмотрим среднюю линию $A_1C_1$. Она соединяет середины сторон $BC$ и $AB$, поэтому $A_1C_1 \parallel AC$ и $A_1C_1 = \frac{1}{2}AC$.Рассмотрим треугольники $\triangle AO'C$ и $\triangle A_1O'C_1$. Они подобны по двум углам (углы при вершине $O'$ равны как вертикальные, а углы $\angle O'AC$ и $\angle O'A_1C_1$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $A_1C_1$ и секущей $AA_1$).

Из подобия этих треугольников следует, что $\frac{AO'}{A_1O'} = \frac{CO'}{C_1O'} = \frac{AC}{A_1C_1} = 2$.Таким образом, точка $O'$ делит медиану $AA_1$ в отношении $2:1$, считая от вершины $A$.

Мы получили, что точка $O$ (пересечение $AA_1$ и $BB_1$) и точка $O'$ (пересечение $AA_1$ и $CC_1$) делят один и тот же отрезок $AA_1$ в одном и том же отношении $2:1$, считая от вершины $A$. Поскольку на отрезке может быть только одна такая точка, точки $O$ и $O'$ должны совпадать.

Это означает, что все три медианы ($AA_1, BB_1, CC_1$) пересекаются в одной и той же точке $O$, и эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема доказана. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.